Question

18．已知P為橢圓$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1上任意一點(diǎn)，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂為其左、右焦點(diǎn)，則$\frac{1}{|P{F}_{1}|}$+$\frac{1}{|P{F}_{2}|}$的最小值等于1．

Answer 1

分析 借助于橢圓的定義得|PF₁|+|PF₂|=2a，設(shè)|PF₁|=m，|PF₂|=n，利用基本不等式的性質(zhì)即可$\frac{1}{|P{F}_{1}|}$+$\frac{1}{|P{F}_{2}|}$的最小值．

解答 解：由題意：橢圓$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1，可得a=2，P時(shí)橢圓上任意一點(diǎn)，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)．
由橢圓的定義得|PF₁|+|PF₂|=2a，設(shè)|PF₁|=m，|PF₂|=n，即m+n=2a=4，
∴m+n≥2$\sqrt{mn}$，當(dāng)且僅當(dāng)m=n時(shí)取等號(hào)．
所以：mn≤4，
則$\frac{1}{|P{F}_{1}|}$+$\frac{1}{|P{F}_{2}|}$=$\frac{1}{m}+\frac{1}{n}$=$\frac{m+n}{mn}$=$\frac{4}{mn}$≥1．
當(dāng)且僅當(dāng)m=n時(shí)取等號(hào)．
所以則$\frac{1}{|P{F}_{1}|}$+$\frac{1}{|P{F}_{2}|}$的最小值1．
故答案為：1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓的定義與基本不等式的結(jié)合的靈活運(yùn)用能力．屬基礎(chǔ)題．