Question

3．已知圓 M與圓N：（x-$\frac{5}{3}$）²+（y+$\frac{5}{3}$）²=r²關(guān)于直線y=x對稱，且點D（-$\frac{5}{3}$，$\frac{1}{3}$）在圓M上．
（1）判斷圓M與圓N的公切線的條數(shù)；
（2）設(shè)P為圓M上任意一點，A（-1，$\frac{5}{3}$），B（1，$\frac{5}{3}$），P，A，B三點不共線，PG為∠APB的平分線，且交AB于G，求證：△PBG與△APG的面積之比為定值．

Answer 1

分析 （1）先求得點N關(guān)于直線y=x對稱點M的坐標，可得圓M的方程，再根據(jù)圓心距大于兩圓的半徑之和，可得兩圓相離，即可得出結(jié)論；
（2）設(shè)∠PAB=2α，則∠APG=∠BPG=α，可得△PBG與△APG的面積之比=$\frac{PB}{PA}$．設(shè)點P（x，y），求得PA²和 PB²的值，可得$\frac{PB}{PA}$的值，即為△PBG與△APG的面積之比．

解答 （1）解：由于點N（$\frac{5}{3}$，-$\frac{5}{3}$）關(guān)于直線y=x對稱點M（-$\frac{5}{3}$，$\frac{5}{3}$），
r=|ND|=$\frac{4}{3}$，故圓M的方程為：（x+$\frac{5}{3}$）²+（y-$\frac{5}{3}$）²=$\frac{16}{9}$．
根據(jù)|MN|=$\sqrt{\frac{100}{9}+\frac{100}{9}}$=$\frac{10\sqrt{2}}{3}$＞2r，故兩圓相離，
∴圓M與圓N的公切線有4條．
（2）證明：設(shè)∠PAB=2α，則∠APG=∠BPG=α，∴△PBG與△APG的面積之比=$\frac{PB}{PA}$．
設(shè)點P（x，y），則：（x+$\frac{5}{3}$）²+（y-$\frac{5}{3}$）²=$\frac{16}{9}$．
PA²=（x+1）²+（y-$\frac{5}{3}$）² =（x+1）²+$\frac{16}{9}$-（x+$\frac{5}{3}$）²=-$\frac{4}{3}$x；
PB²=（x-1）²+（y-$\frac{5}{3}$）² =（x-1）²+$\frac{16}{9}$-（x+$\frac{5}{3}$）²=-$\frac{16}{3}$x；
∴$\frac{PB}{PA}$=2，即△PBG與△APG的面積之比=2．

點評 本題主要考查直線和圓的位置關(guān)系，圓和圓的位置關(guān)系，圓的切線性質(zhì)，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想，屬于中檔題．