Question

8．如圖一，在邊長為2的等邊三角形ABC中，D、E、F分別是BC、AB、AC的中點，將△ABD沿AD折起，得到如圖二所示的三棱錐A-BCD，其中$BC=\sqrt{2}$．
（1）證明：AD⊥BC；
（2）求四棱錐D-EFCB的體積．

Answer 1

分析 （1）推導出AD⊥DC，AD⊥DB，從而AD⊥平面BDC，由此能證明AD⊥BC．
（2）推導出BD⊥CD，四棱錐D-EFCB的體積V_D-EFBC=V_A-BDC-V_E-AFD，由此能求出結果．

解答 證明：（1）∵在邊長為2的等邊三角形ABC中，D、E、F分別是BC、AB、AC的中點，
將△ABD沿AD折起，得到如圖二所示的三棱錐A-BCD，其中$BC=\sqrt{2}$．
∴AD⊥DC，AD⊥DB，
∵DB∩DC=D，∴AD⊥平面BDC
∵BC?平面 BDC，∴AD⊥BC．…（6分）
解：（2）在△BCD中，$BC=\sqrt{2}$，BD=CD=1，
∴BD²+CD²=BC²，∴BD⊥CD，
∵${V_{A-BDC}}=\frac{1}{3}•\frac{1}{2}•\sqrt{3}=\frac{{\sqrt{3}}}{6}$，${V_{E-AFD}}=\frac{{\sqrt{3}}}{4}•\frac{1}{2}•\frac{1}{3}=\frac{{\sqrt{3}}}{24}$，
∴四棱錐D-EFCB的體積${V_{D-EFBC}}={V_{A-BDC}}-{V_{E-AFD}}=\frac{{\sqrt{3}}}{6}-\frac{{\sqrt{3}}}{24}=\frac{{\sqrt{3}}}{8}$…（12分）

點評 本題考查線線垂直的證明，考查四棱錐的體積的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．