Question

16．某校園內(nèi)有一塊三角形綠地AEF（如圖1），其中AE=20m，AF=10m，∠EAF=$\frac{2π}{3}$，綠地內(nèi)種植有一呈扇形AMN的花卉景觀，扇形AMN的兩邊分別落在AE和AF上，圓弧MN與EF相切于點P．
（1）求扇形花卉景觀的面積；
（2）學(xué)校計劃2017年年整治校園環(huán)境，為美觀起見，設(shè)計在原有綠地基礎(chǔ)上擴建成平行四邊形ABCD（如圖2），其中∠BAD=$\frac{2π}{3}$，并種植兩塊面積相同的扇形花卉景觀，兩扇形的邊都分別落在平行四邊形ABCD的邊上，圓弧都與BD相切，若扇形的半徑為8m，求平行四邊形ABCD綠地占地面積的最小值．

Answer 1

分析 （1）△AEF中，由余弦定理可得EF，設(shè)扇形花卉景觀的半徑為r，則由EF•r=AE•AF•sin∠EAF，得到r，即可求扇形花卉景觀的面積；
（2）設(shè)AB=xm，AD=ym，則BD=$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}+xy}$m，由平行四邊形ABCD的面積得8$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}+xy}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$xy，求出xy的最小值，即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）△AEF中，由余弦定理可得EF=$\sqrt{400+100-400cos\frac{2π}{3}}$=10$\sqrt{7}$m．
設(shè)扇形花卉景觀的半徑為r，則由EF•r=AE•AF•sin∠EAF，得到r=$\frac{200×\frac{\sqrt{3}}{2}}{10\sqrt{7}}$=$\frac{10\sqrt{21}}{7}$m，
∴扇形花卉景觀的面積S=$\frac{1}{3}π{r}^{2}$=$\frac{100}{7}πc{m}^{2}$；
（2）設(shè)AB=xm，AD=ym，則BD=$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}+xy}$m，
由平行四邊形ABCD的面積得8$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}+xy}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$xy，
∵$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}+xy}$≥$\sqrt{2xy+xy}$=$\sqrt{3}•\sqrt{xy}$，
∴$\frac{\sqrt{3}}{2}$xy≥8$\sqrt{3}$$•\sqrt{xy}$，即xy≥256，當且僅當x=y=16時，xy的最小值為256，
∴平行四邊形ABCD的面積的最小值為128$\sqrt{3}{m}^{2}$．

點評 本題考查基本不等式的運用，考查余弦定理的運用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，難度中等．