Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=x3+ax2+bx+c在x=﹣1與x=2處都取得極值． （Ⅰ）求a，b的值及函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若對x∈[﹣2，3]，不等式f（x）+ c＜c2恒成立，求c的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）f′（x）=3x2+2ax+b， 由題意： 即
解得
∴ ，f′（x）=3x2﹣3x﹣6
令f′（x）＜0，解得﹣1＜x＜2；
令f′（x）＞0，解得x＜﹣1或x＞2，
∴f（x）的減區(qū)間為（﹣1，2）；增區(qū)間為（﹣∞，﹣1），（2，+∞）．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）在（﹣∞，﹣1）上單調(diào)遞增；
在（﹣1，2）上單調(diào)遞減；在（2，+∞）上單調(diào)遞增．
∴x∈[﹣2，3]時，f（x）的最大值即為f（﹣1）與f（3）中的較大者. ；
∴當x=﹣1時，f（x）取得最大值．
要使 ，只需 ，即：2c2＞7+5c
解得：c＜﹣1或 ．
∴c的取值范圍為
【解析】（Ⅰ）求出f′（x）并令其=0得到方程，把x=﹣1和x=2代入求出a、b即可；（Ⅱ）求出函數(shù)的最大值為f（﹣1），要使不等式恒成立，既要證f（﹣1）+ c＜c2 ， 即可求出c的取值范圍．
【考點精析】關(guān)于本題考查的利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的極值與導數(shù)，需要了解一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導數(shù)的正負有如下關(guān)系： 在某個區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減；求函數(shù)的極值的方法是:（1）如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極大值（2）如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極小值才能得出正確答案．