Question

19．已知橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$的離心率為$\frac{1}{2}$，兩焦點之間的距離為4．
（Ⅰ）求橢圓的標準方程；
（Ⅱ）過橢圓的右頂點作直線交拋物線y²=4x于A，B兩點，求證：OA⊥OB（O為坐標原點）．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意可得2c=4，$\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$．則a=4，c=2．由b²=a²-c²=12，即可求得橢圓的標準方程；
（Ⅱ）過（4，0）的直線方程為：x=my+4，代入拋物線y²=4x，由韋達定理可知：$\left\{\begin{array}{l}{y_1}+{y_2}=4m\\{y_1}{y_2}=-16\end{array}\right.$，則$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=x₁x₂+y₁y₁=0，即可求證OA⊥OB．

解答 解：（Ⅰ）解：橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$焦點在x軸上，
由題意可得2c=4，$\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$．則a=4，c=2．
由b²=a²-c²=12，
∴橢圓標準方程為：$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{12}=1$．…（5分）
（Ⅱ）證明：由（Ⅰ）可得橢圓的右頂點為（4，0），
由題意得，可設過（4，0）的直線方程為：x=my+4．…（7分）
由$\left\{\begin{array}{l}x=my+4\\{y^2}=4x\end{array}\right.$，消去x得：y²-4my-16=0．
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則$\left\{\begin{array}{l}{y_1}+{y_2}=4m\\{y_1}{y_2}=-16\end{array}\right.$．…（10分）
∴$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}={x_1}{x_2}+{y_1}{y_2}=（{m{y_1}+4}）（{m{y_2}+4}）+{y_1}{y_2}=（{1+{m^2}}）{y_1}{y_2}+4m（{{y_1}+{y_2}}）+16=0$，
則$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=0，則$\overrightarrow{OA}$⊥$\overrightarrow{OB}$
故OA⊥OB．…（12分）

點評 本題考查橢圓的標準方程及簡單幾何性質，考查直線與拋物線的位置關系，韋達定理及向量數量積的坐標運算，考查計算能力，屬于中檔題．