Question

5．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c且$\frac{a}$cosC+$\frac{c}{a}$cosB=3cosB．
（1）求sinB；
（2）若D為AC邊的中點(diǎn)，且BD=1，求△ABD面積的最大值．

Answer 1

分析 （1）由正弦定理，三角形內(nèi)角和定理，兩角和的正弦函數(shù)公式化簡已知可求cosB，進(jìn)而利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求sinB的值．
（2）由已知可求|$\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}$|=|2$\overrightarrow{BD}$|=2，兩邊平方，利用平面向量數(shù)量積的運(yùn)算，基本不等式可求|$\overrightarrow{BA}$||$\overrightarrow{BC}$|≤$\frac{3}{2}$，由三角形的面積公式即可計(jì)算得解．

解答 解：（1）∵$\frac{a}$cosC+$\frac{c}{a}$cosB=3cosB．
∴由正弦定理可得：$\frac{sinBcosC+sinCcosB}{sinA}$=$\frac{sin（B+C）}{sinA}$=3cosB，
∴cosB=$\frac{1}{3}$，sinB=$\sqrt{1-co{s}^{2}B}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$．
（2）由BD=1，可得：|$\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}$|=|2$\overrightarrow{BD}$|=2，
∴$\overrightarrow{BA}$²+$\overrightarrow{BC}$²+2$\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{BC}$=4，
∴|$\overrightarrow{BA}$|²+|$\overrightarrow{BC}$|²+2|$\overrightarrow{BA}$||$\overrightarrow{BC}$|cosB=4，可得：|$\overrightarrow{BA}$|²+|$\overrightarrow{BC}$|²=4-$\frac{2}{3}$|$\overrightarrow{BA}$||$\overrightarrow{BC}$|，
∵|$\overrightarrow{BA}$|²+|$\overrightarrow{BC}$|²≥2|$\overrightarrow{BA}$||$\overrightarrow{BC}$|，
∴4-$\frac{2}{3}$|$\overrightarrow{BA}$||$\overrightarrow{BC}$|≥2|$\overrightarrow{BA}$||$\overrightarrow{BC}$|，可得：|$\overrightarrow{BA}$||$\overrightarrow{BC}$|≤$\frac{3}{2}$，（當(dāng)且僅當(dāng)|$\overrightarrow{BA}$|=|$\overrightarrow{BC}$|時(shí)等號成立）
∴S_△ABD=$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×$|$\overrightarrow{BA}$||$\overrightarrow{BC}$|sinB≤$\frac{1}{4}×\frac{3}{2}×\frac{2\sqrt{2}}{3}$=$\frac{\sqrt{2}}{4}$．

點(diǎn)評 本題主要考查了正弦定理，三角形內(nèi)角和定理，兩角和的正弦函數(shù)公式，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，平面向量數(shù)量積的運(yùn)算，基本不等式，三角形的面積公式在解三角形中的綜合應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，屬于中檔題．