Question

8．若函數f（x）=x³+ax²+bx的圖象與x軸相切于點（c，0），且f（x）有極大值4，則c=（　�。�

• A． -3
• B． -1
• C． 1
• D． 3

Answer 1

分析 聯(lián)立方程組，求出a，b，求出f（x）的導數，通過討論c的范圍，得到函數f（x）的單調區(qū)間，求出f（x）的極大值，得到關于c的方程，解出即可．

解答 解：∵f（x）=x³+ax²+bx（a，b∈R），
∴f′（x）=3x²+2ax+b，
∵f（x）的圖象與x軸相切于一點（c，0），
∴$\left\{\begin{array}{l}{{3c}^{2}+2ac+b=0}\\{{c}^{2}+ac+b=0}\end{array}\right.$，解得 $\left\{\begin{array}{l}{a=-2c}\\{b{=c}^{2}}\end{array}\right.$，
∴f′（x）=（3x-c）（x-c），
c＞0時，令f′（x）＞0，解得：x＞c或x＜$\frac{c}{3}$，
令f′（x）＜0，解得：$\frac{c}{3}$＜x＜c，
∴f（x）在（-∞，$\frac{c}{3}$）遞增，在（$\frac{c}{3}$，c）遞減，在（c，+∞）遞增，
∴f（x）_極大值=f（$\frac{c}{3}$）=4，解得：c=3，
c＜0時，令f′（x）＞0，解得：x＜c或x＞$\frac{c}{3}$，
令f′（x）＜0，解得：$\frac{c}{3}$＞x＞c，
∴f（x）在（-∞，c）遞增，在（c，$\frac{c}{3}$）遞減，在（$\frac{c}{3}$，+∞）遞增，
∴f（x）_極大值=f（c）=4，而f（c）=0，不成立，
綜上，c=3，
故選：D．

點評 本題考查了函數的單調性、極值問題，考查導數的應用，是一道中檔題．