Question

11．在（2x+1）（x-1）⁵的展開(kāi)式中含x⁴項(xiàng)的系數(shù)是15．（用數(shù)字作答）

Answer 1

分析 把多項(xiàng)式按乘法展開(kāi)，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為二項(xiàng)展開(kāi)式的系數(shù)問(wèn)題；
利用二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式求出展開(kāi)式的通項(xiàng)，
分別令x的指數(shù)為3，4求出展開(kāi)式含x³，x⁴項(xiàng)的系數(shù)；
再求（2x+1）（x-1）⁵展開(kāi)式中含x⁴項(xiàng)的系數(shù)．

解答 解：（2x+1）（x-1）⁵=2x（x-1）⁵+（x-1）⁵，
∴（x+2）（x-1）⁵展開(kāi)式中含x⁴項(xiàng)的系數(shù)為
（x-1）⁵展開(kāi)式中x⁴系數(shù)與x³系數(shù)的2倍之和；
∵（x-1）⁵展開(kāi)式的通項(xiàng)為T(mén)_r+1=（-1）^rC₅^rx^5-r，
令5-r=4，得r=1；
∴展開(kāi)式中含x⁴的系數(shù)為-5；
令5-r=3，得r=2；
∴展開(kāi)式中含x³的系數(shù)為10；
∴（2x+1）（x-1）⁵展開(kāi)式中含x⁴項(xiàng)的系數(shù)為
（-5）+2×10=15．
故答案為：15．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等價(jià)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法、以及利用二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式解決二項(xiàng)展開(kāi)式的特定項(xiàng)問(wèn)題．