Question

6．經(jīng)統(tǒng)計，2015年，某公路在部分界樁附近發(fā)生的交通事故次數(shù)如下表：

界樁公里數(shù)  1001	1005	1010	1020	1025	1049
交通事故數(shù)  80	40	35	33	32	30

把界樁公里數(shù)1001記為x=1，公里數(shù)1005記為x=5，…，數(shù)據(jù)繪成的散點圖如圖所示，以x為解釋變量、交通事故數(shù)y為預報變量，建立了兩個不同的回歸方程y^（1）=29.9+50.2×$\frac{1}{x}$和y^（2）=33.9+125.9e^-x表述x，y二者之間的關系．
（Ⅰ）計算R²的值，判斷這兩個回歸方程中哪個擬合效果更好？并解釋更好的這個擬合所對R²的意義；
（Ⅱ）若保險公司在每次交通事故中理賠60萬元的概率為0.01，理賠2萬元的概率為0.19，理賠0.2萬元的概率為0.8，利用你得到的擬合效果更好的這一個回歸方程，試預報這一年在界樁1040公里附近處發(fā)生的交通事故的理賠費（理賠費精確到0.1萬元）．
附：對回歸直線y=$\widehat{α}$+$\widehat{β}$x，有R²=1-$\frac{\sum_{i=1}^{n}（{y}_{i}-\widehat{{y}_{i}}）^{2}}{\sum_{i=1}^{n}（{y}_{i}-\overline{y}）^{2}}$．
一些量的計算值：

$\overline{y}$       $\sum_{i=1}^{6}（{y}_{i}-\overline{y}）^{2}$	$\sum_{i=1}^{6}（{y}_{i}-{\widehat{{y}_{i}}}^{（1）}）^{2}$	$\sum_{i=1}^{6}（{y}_{i}-{\widehat{{y}_{i}}}^{（2）}）^{2}$
41.7        1821	0.875	48.4

表中：${\widehat{{y}_{i}}}^{（1）}$=29.9+50.2×$\frac{1}{{x}_{i}}$，${\widehat{{y}_{i}}}^{（2）}$=33.9+125.9e${\;}^{-{x}_{i}}$，$\frac{1}{40}$=0.025，e^-40≈0．

Answer 1

分析 （Ⅰ）計算R²的值，即可得出結論；
（Ⅱ）求出界樁1040公里取x=40，由y^（1）=29.9+50.2×$\frac{1}{40}$≈31.16，每次交通事故的理賠費=60×0.01+2×0.19+0.2×0.8=1，14萬元，即可得出結論．

解答 解：（Ⅰ）y^（1）=29.9+50.2×$\frac{1}{x}$擬合時，R₁²=1-$\frac{0.875}{1821}$≈0.9995；
y^（2）=33.9+125.9e^-x擬合時，R₂²=1-$\frac{48.4}{1821}$≈0.9734
∵0.9995＞0.9734，
∴y^（1）=29.9+50.2×$\frac{1}{x}$比y^（2）=33.9+125.9e^-x擬合效果更好，
R₁²=1-$\frac{0.875}{1821}$≈0.9995，表明界樁公里數(shù)解釋了99.95%的交通事故發(fā)生次數(shù)的變化；
（Ⅱ）界樁1040公里取x=40，由y^（1）=29.9+50.2×$\frac{1}{40}$≈31.16，
每次交通事故的理賠費=60×0.01+2×0.19+0.2×0.8=1，14萬元，
∴預報這一年在界樁1040公里附近處發(fā)生的交通事故的理賠費為31.16×1.14≈35.5萬元．

點評 本題考查回歸方程，考查擬合效果，考查學生的計算能力，屬于中檔題．