Question

10．已知直線l：kx+y+1+2k=0（k∈R）．
（1）證明：直線l過定點；
（2）若直線l交x軸負半軸于A，交y軸負半軸于B，記△AOB的面積為S，求S的最小值，并求此時直線l的方程．

Answer 1

分析 （1）由題意可知：直線l 的方程是：k（x+2）+（1+y）=0，令$\left\{{\begin{array}{l}{x+2=0}\\{1+y=0}\end{array}}\right.$，解得$\left\{{\begin{array}{l}{x=-2}\\{y=-1}\end{array}}\right.$，因此無論k 為何值，直線l 過定點（-2，-1）；
（2）直線l 在x 軸上截距為$-\frac{1+2k}{k}（k≠0）$，在y 軸上的截距為-（1+2k），求得A，B坐標，則$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1+2k}{k}＜0}\\{1+2k＞0}\end{array}\right.$，求得k＞0，由三角形的面積公式可知：$S=\frac{1}{2}•|{OA}|•|{OB}|=\frac{1}{2}•|{\frac{1+2k}{k}}|•|{1+2k}|=\frac{1}{2}•\frac{{{{（1+2k）}^2}}}{k}$=$\frac{1}{2}（4k+\frac{1}{k}+4）≥\frac{1}{2}（2×2+4）=4$，當$4k=\frac{1}{k}$，即$k=\frac{1}{2}$，“=”成立的條件，即可求得直線l的方程．

解答 解：（1）證明：直線l 的方程是：k（x+2）+（1+y）=0，（2分），
令$\left\{{\begin{array}{l}{x+2=0}\\{1+y=0}\end{array}}\right.$，解得$\left\{{\begin{array}{l}{x=-2}\\{y=-1}\end{array}}\right.$，
∴無論k 為何值，直線l 過定點（-2，-1）．（4分）
（2）解：由方程知：直線l 在x 軸上截距為$-\frac{1+2k}{k}（k≠0）$，在y 軸上的截距為-（1+2k），
故：$A（-\frac{1+2k}{k}，0），B（0，-（1+2k））$．（6分）
由題意：$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1+2k}{k}＜0}\\{1+2k＞0}\end{array}\right.$，解得：k＞0，
∵$S=\frac{1}{2}•|{OA}|•|{OB}|=\frac{1}{2}•|{\frac{1+2k}{k}}|•|{1+2k}|=\frac{1}{2}•\frac{{{{（1+2k）}^2}}}{k}$，（8分）
=$\frac{1}{2}（4k+\frac{1}{k}+4）≥\frac{1}{2}（2×2+4）=4$，（10分）
當且僅當k＞0 且$4k=\frac{1}{k}$，即$k=\frac{1}{2}$，“=”成立的條件，
∴S_min=4，此時l：x+2y+4=0．（12分）

點評 本題考查直線方程的應用，考查三角形的面積公式與基本不等式的綜合應用，考查計算能力，屬于中檔題．