Question

9．已知△ABC的兩個(gè)頂點(diǎn)為A（0，0）、B（6，0），頂點(diǎn)C在曲線$\frac{{x}^{2}}{16}$-$\frac{{y}^{2}}{9}$=1上運(yùn)動(dòng)，則△ABC的重心的軌跡方程是$\frac{9（x-2）^{2}}{16}-{y}^{2}=1$（y≠0）．

Answer 1

分析 設(shè)出三角形重心坐標(biāo)，利用重心坐標(biāo)公式把C的坐標(biāo)用重心的坐標(biāo)表示，代入曲線方程整理得答案．

解答 解：設(shè)重心的坐標(biāo)為（x，y），
而在平面直角坐標(biāo)系中，重心的坐標(biāo)是三個(gè)頂點(diǎn)的算術(shù)平均數(shù)，
即$x=\frac{0+6+{x}_{C}}{3}$，$y=\frac{0+0+{y}_{C}}{3}$，
∴x_C=3x-6，y_C=3y，
∵C在曲線$\frac{{x}^{2}}{16}$-$\frac{{y}^{2}}{9}$=1上運(yùn)動(dòng)，
∴$\frac{（3x-6）^{2}}{16}-\frac{（3y）^{2}}{9}=1$，
化簡(jiǎn)得到$\frac{9（x-2）^{2}}{16}-{y}^{2}=1$（y≠0）．
故答案為：$\frac{9（x-2）^{2}}{16}-{y}^{2}=1$（y≠0）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)，考查了利用代入法求曲線的軌跡方程，是中檔題．