Question

14．某單位將舉辦慶典活動，要在廣場上豎立一形狀為等腰梯形的彩門BADC （如圖），設(shè)計要求彩門的面積為S （單位：m²）•高為h（單位：m）（S，h為常數(shù)），彩門的下底BC固定在廣場地面上，上底和兩腰由不銹鋼支架構(gòu)成，設(shè)腰和下底的夾角為α，不銹鋼支架的長度和記為l．
（1）請將l表示成關(guān)于α的函數(shù)l=f（α）；
（2）問當(dāng)α為何值時l最��？并求最小值．

Answer 1

分析 （1）求出上底，即可將l表示成關(guān)于α的函數(shù)l=f（α）；
（2）求導(dǎo)數(shù)，取得函數(shù)的單調(diào)性，即可解決當(dāng)α為何值時l最小？并求最小值．

解答 解：（1）設(shè)上底長為a，則S=$\frac{（a+a+\frac{2h}{tanα}）h}{2}=S$，
∴a=$\frac{S}{h}$-$\frac{h}{tanα}$，
∴l(xiāng)=$\frac{S}{h}$-$\frac{h}{tanα}$+$\frac{2h}{sinα}$（0＜α＜$\frac{π}{2}$）；
（2）l′=h$•\frac{1-2cosα}{si{n}^{2}α}$，
∴0＜α＜$\frac{π}{3}$，l′＜0，$\frac{π}{3}$＜α＜$\frac{π}{2}$，l′＞0，
∴$α=\frac{π}{3}$時，l取得最小值$\frac{S}{h}$+$\sqrt{3}$hm．

點評 本題考查利用數(shù)學(xué)知識解決實際問題，考查導(dǎo)數(shù)知識的運用，取得函數(shù)的模型是關(guān)鍵．