【題目】如圖,在四棱錐中,底面是一個直角梯形,其中,,平面,,,點M和點N分別為的中點.

1)證明:直線平面;

2)求直線和平面所成角的余弦值;

3)求二面角的正弦值;

4)求點P到平面的距離;

5)設(shè)點N在平面內(nèi)的射影為點H,求線段的長.

【答案】1)證明見解析;(2;(3;(4;(5

【解析】

1)以為原點,建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量法,證明與平面的法向量垂直,從而證明直線平面

2)求出平面的法向量,利用向量法,求出直線和平面所成角的余弦值.

3)求出平面的法向量和平面的法向量,利用向量法,求出二面角的正弦值.

4)求出的坐標(biāo),再求出平面的法向量,利用向量法,求出點到平面的距離;

5)設(shè)點在平面內(nèi)的射影為點,從而表示出的坐標(biāo),求出到平面的距離,列出方程組,求出點坐標(biāo),從而求出的長度.

1)四棱錐,底面是一個直角梯形,平面,

所以為原點,軸,軸,軸,建立空間直角坐標(biāo)系,

,,,

,,

設(shè)平面的法向量,

所以,

,則,

所以,平面,

所以直線平面.

2,,,

設(shè)平面的法向量

,即,

,則,

設(shè)直線與平面所成的角為,

,

所以

所以直線與平面所成角的余弦值為.

3)設(shè)平面的法向量為,

,即,

,得,

平面的法向量,

設(shè)二面角的平面角為,

所以,

所以二面角的正弦值為.

4,平面的法向量,

所以點到平面的距離為

.

5)設(shè)點在平面的射影為點,

,

所以點到平面的距離為,

根據(jù),得

解得,,,或者,(舍)

所以.

練習(xí)冊系列答案
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1

2

3

4

5

4

6

10

23

22

1)若具有線性相關(guān)關(guān)系,請根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù),用最小二乘法求出關(guān)于的線性回歸方程;

2)預(yù)測該星期最后一天參加該活動的人數(shù)(按四舍五入取到整數(shù)).

參考公式:,

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