Question

12．已知函數(shù)f（x）=e^x-ax+a（a∈R），其中e為自然對數(shù)的底數(shù)．
（1）討論函數(shù)y=f（x）的單調(diào)性；
（2）函數(shù)y=f（x）的圖象與x軸交于A（x₁，0），B（x₂，0）兩點，x₁＜x₂，點C在函數(shù)y=f（x）的圖象上，且△ABC為等腰直角三角形，記$\sqrt{\frac{{{x_2}-1}}{{{x_1}-1}}}=t$，求at-（a+t）的值．

Answer 1

分析 （1）求導(dǎo)，分類討論，根據(jù)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，即可求得f（x）的單調(diào)性區(qū)間；
（2）由題意可知：C=90°，則${x_0}=\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}∈（{x_{1\;}}，{x_2}）$，即y₀=f（x₀）＜0，然后得到關(guān)于參數(shù)a的方程$at-\frac{a}{2}（1+{t^2}）+\frac{1}{2}（{t^2}-1）=0$，則$a=1+\frac{2}{t-1}$，則（a-1）（t-1）=2．即可求得at-（a+t）=1．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=e^x-ax+a，f'（x）=e^x-a，
①當a≤0時，則f'（x）＞0，則函數(shù)f（x）在（-∞，+∞）是單調(diào)增函數(shù)．
②當a＞0時，令f'（x）=0，則x=lna，
若x＜lna，f'（x）＜0，所以f（x）在（-∞，lna）上是單調(diào)減函數(shù)；
若x＞lna，f'（x）＞0，所以f（x）在（lna，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)．
（2）由（1）可知當a＞0時，函數(shù)y=f（x）其圖象與x軸交于兩點，則有${e^{x_i}}-a{x_i}+a=0$，則$a（{x_i}-1）={e^{x_i}}＞0$，則x_i＞1（i=1，2）．
于是${e^{\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}}}=a\sqrt{（{x_1}-1）（{x_2}-1）}$，在等腰三角形ABC中，顯然C=90°，所以${x_0}=\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}∈（{x_{1\;}}，{x_2}）$，即y₀=f（x₀）＜0，
由直角三角形斜邊的中線性質(zhì)，可知$\frac{{{x_2}-{x_1}}}{2}=-{y_0}$，
所以${y_0}+\frac{{{x_2}-{x_1}}}{2}=0$，即${e^{\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}}}-\frac{a}{2}（{x_1}+{x_2}）+a+\frac{{{x_2}-{x_1}}}{2}=0$，
所以$a\sqrt{（{x_1}-1）（{x_2}-1）}-\frac{a}{2}（{x_1}+{x_2}）+a+\frac{{{x_2}-{x_1}}}{2}=0$，
即$a\sqrt{（{x_1}-1）（{x_2}-1）}-\frac{a}{2}[（{x_1}-1）+（{x_2}-1）]+\frac{{（{x_2}-1）-（{x_1}-1）}}{2}=0$．
因為x₁-1≠0，則$a\sqrt{\frac{{{x_2}-1}}{{{x_1}-1}}}-\frac{a}{2}（{1+\frac{{{x_2}-1}}{{{x_1}-1}}}）+\frac{{\frac{{{x_2}-1}}{{{x_1}-1}}-1}}{2}=0$，
又$\sqrt{\frac{{{x_2}-1}}{{{x_1}-1}}}=t$，所以$at-\frac{a}{2}（1+{t^2}）+\frac{1}{2}（{t^2}-1）=0$，
即$a=1+\frac{2}{t-1}$，則（a-1）（t-1）=2．
所以at-（a+t）=1．

點評 本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，考查利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，考查分類討論的思想，轉(zhuǎn)化思想，方程思想，做題要認真仔細，方法要明，過程要嚴謹，考查學(xué)生分析問題解決問題的能力，屬于難題．