Question

7．已知a＞0，a≠1且a³＞a²，已知函數(shù)f（x）=a^x在區(qū)間[1，2]上的最大值與最小值之差為2，設(shè)函數(shù)$g（x）=1-\frac{2}{{{a^x}+1}}$．
（1）判斷函數(shù)g（x）的奇偶性；
（2）證明：$g（{{x^2}-x+\frac{3}{4}}）≥3-2\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 （1）由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，判斷a＞1，由最值可得a的方程，解得a=2，進(jìn)而運(yùn)用奇偶性的定義，計(jì)算g（-x），與g（x）比較，即可判斷g（x）的奇偶性；
（2）判斷g（x）在R上遞增，配方法求出x²-x+$\frac{3}{4}$≥$\frac{1}{2}$，計(jì)算即可得證．

解答 解：∵a＞0，a≠1，a³＞a²，∴a＞1，
又y=a^x在[1，2]上為增函數(shù)，
∴a²-a=2，解得a=2或a=-1（舍去）．
∴$g（x）=1-\frac{2}{{{2^x}+1}}=\frac{{{2^x}-1}}{{{2^x}+1}}$．
（1）函數(shù)g（x）的定義域?yàn)镽，
且$g（{-x}）=\frac{{{2^{-x}}-1}}{{{2^{-x}}+1}}=\frac{{1-{2^x}}}{{{2^x}+1}}=-\frac{{{2^x}-1}}{{{2^x}+1}}=-g（x）$，
∴函數(shù)g（x）是奇函數(shù)．
（2）證明：由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性得函數(shù)g（x）在R上單調(diào)遞增，
∵${x^2}-x+\frac{3}{4}={（{x-\frac{1}{2}}）^2}+\frac{1}{2}≥\frac{1}{2}$，
∴$g（{{x^2}-x+\frac{3}{4}}）≥g（{\frac{1}{2}}）=3-2\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性的判斷及運(yùn)用：證明不等式，考查指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及應(yīng)用，運(yùn)用定義是解本題的關(guān)鍵，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．