Question

19．已知直線x-2y+2=0與圓C：x²+y²-4y+m=0相交，截得的弦長(zhǎng)為$\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$．
（1）求圓C的方程；
（2）已知P（2，4），過(guò)P向圓C引兩條切線分別與拋物線y=x²交與點(diǎn)Q、R（異于R點(diǎn)），判斷直線QR與圓C的位置關(guān)系，并加以說(shuō)明．

Answer 1

分析 （1）求得圓心到直線的距離，由弦長(zhǎng)公式，計(jì)算即可得到r²=1，進(jìn)而得到圓的方程；
（2）令切線方程為y-4=k（x-2），設(shè)$Q（{x}_{1}，{{x}_{1}}^{2}），R（{x}_{2}，{{x}_{2}}^{2}），PQ，PR$的斜率分別為k₁、k₂，求得直線QR的方程，運(yùn)用直線和圓相切的條件，化簡(jiǎn)整理，再由圓心到直線QR的距離，即可判斷所求位置關(guān)系．

解答 解：（1）∵C（0，2），∴圓心C到直線x-2y+2=0的距離為$d=\frac{{|{0-4+2}|}}{{\sqrt{5}}}=\frac{2}{{\sqrt{5}}}$，
∵截得的弦長(zhǎng)為$\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$，∴${r^2}={（{\frac{2}{{\sqrt{5}}}}）^2}+{（{\frac{{\sqrt{5}}}{5}}）^2}=1$，
∴圓C的方程為：x²+（y-2）²=1；
（2）令切線方程為y-4=k（x-2），從而$d=\frac{|2-2k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}=1$，即3k²-8k+3=0，
設(shè)$Q（{x}_{1}，{{x}_{1}}^{2}），R（{x}_{2}，{{x}_{2}}^{2}），PQ，PR$的斜率分別為k₁、k₂，
從而可得${k_1}•{k_2}=1，{k_1}+{k_2}=\frac{8}{3}$，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y-4=k（x-2）}\\{y={x}^{2}}\end{array}\right.$，得（x-2）（x-k+2）=0，
∴x₁=k₁-2，x₂=k₂-2，
又由于直線QR的方程為$y-{{x}_{1}}^{2}=\frac{{{x}_{1}}^{2}-{{x}_{2}}^{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}（x-{x}_{1}）$，
即y=（x₁+x₂）x-x₁•x₂=（k₁+k₂-4）x-（k₁-2）（k₂-2）
=（k₁+k₂-4）x-k₁k₂+2（k₁+k₂）-4=$-\frac{4}{3}x+\frac{1}{3}$．
∴4x+3y-1=0．
由圓心（0，2）到直線QR的距離為$\frac{|0+6-1|}{\sqrt{{4}^{2}+{3}^{2}}}=1$，從而可得直線與圓相切．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線和圓的位置關(guān)系，考查直線和圓相交的弦長(zhǎng)公式和相切的條件：d=r，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．