Question

16．已知函數(shù)f（x）=asinx-bcosx（其中a，b為正實(shí)數(shù)）的圖象關(guān)于直線$x=-\frac{π}{6}$對(duì)稱，且?x₁，x₂∈R，x₁≠x₂，f（x₁）f（x₂）≤4恒成立，則下列結(jié)論正確的是（　�。�

• A． $a=\sqrt{3}$，b=1
• B． 函數(shù)f（x）在區(qū)間$[{\frac{π}{6}，π}]$上單調(diào)遞增
• C． 函數(shù)f（x）的圖象的一個(gè)對(duì)稱中心為$（{\frac{2}{3}π，0}）$
• D． 不等式f（x₁）f（x₂）≤4取到等號(hào)時(shí)|x₂-x₁|的最小值為2π

Answer 1

分析 將函數(shù)f（x）化簡(jiǎn)，f（x₁）f（x₂）≤4恒成立，f（x）的最大值為2，即a²+b²=4．由于f（x）圖象的對(duì)稱軸為直線$x=-\frac{π}{6}$，可得$f（{-\frac{π}{6}}）=-\frac{1}{2}a-\frac{{\sqrt{3}}}{2}b$，求解a，b的值．可得解析式．從而根據(jù)正弦函數(shù)的圖象及性質(zhì)可得答案．

解答 解：函數(shù)f（x）=asinx-bcosx
化簡(jiǎn)可得$f（x）=asinx-bcosx=\sqrt{{a^2}+{b^2}}sin（{x-φ}）$（其中$tanφ=\frac{a}$），
∵f（x₁）f（x₂）≤4，∴f（x）的最大值為2，∴a²+b²=4①
由于f（x）圖象的對(duì)稱軸為直線$x=-\frac{π}{6}$，
∴$f（{-\frac{π}{6}}）=-\frac{1}{2}a-\frac{{\sqrt{3}}}{2}b$，
∴$|{-\frac{1}{2}a-\frac{{\sqrt{3}}}{2}b}|=\sqrt{{a^2}+{b^2}}$②，
由①②解得a=1，$b=\sqrt{3}$．∴$f（x）=2sin（{x-\frac{π}{3}}）$，
故A錯(cuò)誤．
由正弦函數(shù)的圖象及性質(zhì)可得：在區(qū)間$[{\frac{π}{6}，\frac{5π}{6}}]$單調(diào)遞增，在區(qū)間$（{\frac{5}{6}π，π}]$上單調(diào)遞減，故B錯(cuò)誤．
將對(duì)稱中心為$（{\frac{2}{3}π，0}）$，解析式不成立，故C錯(cuò)誤．
當(dāng)f（x₁）f（x₂）≤4取到等號(hào)時(shí)，f（x）能取到兩個(gè)最大值2，最小間隔為一個(gè)周期2π，故選D．
故選D

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查對(duì)三角函數(shù)的化簡(jiǎn)能力和三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)的運(yùn)用，利用三角函數(shù)的性質(zhì)求解出符合題意的解析式是解決本題的關(guān)鍵．屬于中檔題．