Question

已知圓C的圓心A在y軸上，半徑為l且過點（1，2）．
（Ⅰ）求圓C的方程；
（Ⅱ）若過點M（-2，2）的直線l與圓C交于P、Q兩點，且

AP•AQ

=-

1

2

，求直線l的方程．

Answer 1

考點：直線與圓相交的性質(zhì)

專題：直線與圓

分析：（Ⅰ）設圓心A（0，t），則

(1-0)2+(2-t)2

=1，由此能求出圓C的方程．
（Ⅱ）設直線l的方程為kx-y+2k+2=0，由

x2+(y-2)2=1 kx-y+2k+2=0

，得：（k²+1）x²+4k²x+4k²-1=0，由此利用韋達定理結(jié)合已知條件能求出直線l的方程．

解答： 解：（Ⅰ）∵圓C的圓心A在y軸上，半徑為l且過點（1，2），
∴設圓心A（0，t），則

(1-0)2+(2-t)2

=1，
解得t=2，
∴圓心A（0，2），
∴圓C的方程為x²+（y-2）²=1．
（Ⅱ）設直線l的方程為y-2=k（x+2），即kx-y+2k+2=0，
由

x2+(y-2)2=1 kx-y+2k+2=0

，得：（k²+1）x²+4k²x+4k²-1=0，
設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），則x1+x2=-

4k2

k2+1

，x1x2=

4k2-1

k2+1

，

AP

=(x1，y1-2)，

AQ

=（x₂，y₂-2），
∴

AP

•

AQ

=x₁x₂+（kx₁+2k）（kx₂+2k）
=（k²+1）x₁x₂+2k²（x₁+x₂）+4k²
=4k²-1+2k²•（-4k²）+4k²
=8k²-8k⁴-1=-

1

2

，
解得k=±

1

2

．
∴直線l的方程為

1

2

x-y+3=0或

1

2

x+y-1=0．

點評：本題考查圓的方程和直線方程的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意兩點間距離公式的合理運用．