定義：若平面點集A中的任一個點（x，y），總存在正實數(shù)r，使得集合，則稱A為一個開集．給出下列集合：①（x，y）|x2+y2=1；②（x，y）|x+y+2≥0；③（x，y）|x+y＜6；④．其中是開集的是（ ）
A．①④
B．②③
C．②④
D．③④
【答案】分析：根據(jù)開集的定義逐個驗證選項，即可得到答案，：①：A={（x，y）|x2+y2=4}表示以原點為圓心，2為半徑的圓，以圓上的點為圓心正實數(shù)r為半徑的圓面不可能在該圓上，故不是開集，②在曲線x+y+2=0任意取點（x，y），以任意正實數(shù)r為半徑的圓面，均不滿足 ，故該集合不是開集；③點集A中的任一點（x，y），則該點到直線的距離為d，取r=d，滿足條件，故是開集；④該平面點集A中的任一點（x，y），則該點到圓周上的點的最短距離為d，取r=d，則滿足，，故該集合是開集．從而得到答案．
解答：解：①：A={（x，y）|x2+y2=1}表示以原點為圓心，1為半徑的圓，
則在該圓上任意取點（x，y），以任意正實數(shù)r為半徑的圓面，均不滿足
故①不是開集；
②A={（x，y）|x+y+2≥0}，在曲線x+y+2=0任意取點（x，y），以任意正實數(shù)r為半徑的圓面，均不滿足 ，故該集合不是開集；
③A={（x，y）|x+y＜6}平面點集A中的任一點（x，y），則該點到直線的距離為d，取r=d，則滿足，，故該集合是開集；
④A=表示以點（0，）為圓心，1為半徑除去圓心和圓周的圓面，在該平面點集A中的任一點（x，y），則該點到
圓周上的點的最短距離為d，取r=d，則滿足，，故該集合是開集．
故選D．
點評：此題是個中檔題．本題屬于集合的新定義型問題，考查學(xué)生即時掌握信息，解決問題的能力．正確理解好集的定義是解決本題的關(guān)鍵．
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

定義：若平面點集A中的任一個點（x0，y0），總存在正實數(shù)r，使得集合{(x，y)|
(x-x0)2+(y-y0)2
＜r}⊆A，則稱A為一個開集．給出下列集合：①（x，y）|x2+y2=1；②（x，y）|x+y+2≥0；③（x，y）|x+y＜6；④{(x，y)|0＜x2+(y-
3
)2＜1}．其中是開集的是（　　）
A、①④B、②③C、②④D、③④

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

定義：若平面點集A中的任一個點（x0，y0），總存在正實數(shù)r，使得集合{(x，y)|
(x-x0)2+(y-y0)2
＜r}⊆A，則稱A為一個好集，給出下列集合：
①{（x，y）|x2-y2=1}；
②{(x，y)|
x2
2
+y2＜1}；
③{（x，y）|x+4y+7≤0}；
④{（x，y）|y＞x2+1}
其中是好集的是
 
（請寫出所有符合條件的序號）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

定義：若平面點集A中的任一點（x0，y0），總存在正實數(shù)r，使得集合{(x，y)|
(x-x0)2+(y-y0)2
＜r}⊆A，則稱A為一個開集．給出下列集合：①（x，y）|x2+y2=4；②（x，y）|x+y-2＞0；③（x，y）||x+y|≤2；④{(x，y)|0＜x2+(y-
2
)2＜1}．其中是開集的是（　�。�
A、①④B、②③C、②④D、③④

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•成都模擬）定義：若平面點集A中的任一個點（x0，y0），總存在正實數(shù)r，使得集合B={(x，y)|
(x-x0)2+(y-y0)2
＜r}⊆A，則稱A為一個開集，給出下列集合：
①{（x，y）|x2+y2=1}；      
②{（x，y|x+y+2＞0）}；
③{（x，y）||x+y|≤6}；     
④{(x，y)|0＜x2+(y-
2
)2＜1}．
其中是開集的是
②④
②④
．（請寫出所有符合條件的序號）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2011年四川省成都七中高考數(shù)學(xué)二模試卷（理科）（解析版） 題型：選擇題

定義：若平面點集A中的任一點（x，y），總存在正實數(shù)r，使得集合，則稱A為一個開集．給出下列集合：①（x，y）|x2+y2=4；②（x，y）|x+y-2＞0；③（x，y）||x+y|≤2；④．其中是開集的是（ ）
A．①④
B．②③
C．②④
D．③④

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