Question

7．已知f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{kx+1，x≤0}\\{\frac{lnx}{x}，x＞0}\end{array}\right.$，則k＞0時(shí)，F(xiàn)（x）=f（f（x））+2的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是（　�。�

• A． 4
• B． 3
• C． 2
• D． 1

Answer 1

分析 通過討論x的范圍，結(jié)合對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)判斷函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)即可．

解答 解：∵f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{kx+1，x≤0}\\{\frac{lnx}{x}，x＞0}\end{array}\right.$，
（1）x＞1時(shí)，lnx＞0，$\frac{lnx}{x}$＞0，
∴y=f（f（x））+2=$\frac{ln\frac{lnx}{x}+2\frac{lnx}{x}}{\frac{lnx}{x}}$，此時(shí)的零點(diǎn)為x=1不滿足要求，
（2）0＜x＜1時(shí)，lnx＜0，
∴y=f（f（x））+1=klnx+1，
則k＞0時(shí)，有一個(gè)零點(diǎn)，
（3）若x＜0，kx+1≤0時(shí)，y=f（f（x））+1=k²x+k+1，
則k＞0時(shí)，kx≤-1，k²x≤-k，可得k²x+k≤0，y有一個(gè)零點(diǎn)，
（4）若x＜0，kx+1＞0時(shí)，y=f（f（x））+1=ln（kx+1）+1，
則k＞0時(shí)，即y=0可得kx+1=$\frac{1}{e}$，y有一個(gè)零點(diǎn)，
綜上可知，當(dāng)k＞0時(shí)，有3個(gè)零點(diǎn)；
故選：B．

點(diǎn)評 本題考查了函數(shù)的零點(diǎn)問題，考查分類討論思想，是一道中檔題．