2.如圖所示,已知圓內(nèi)接四邊形ABCD,記T=tan$\frac{A}{2}$+tan$\frac{B}{2}$+tan$\frac{C}{2}$+tan$\frac{D}{2}$.
(1)求證:T=$\frac{2}{sinA}$+$\frac{2}{sinB}$;
(2)若AB=6,BC=3,CD=4,AD=5,求T的值及四邊形ABCD的面積S.

分析 (1)由三角形內(nèi)角和定理,誘導(dǎo)公式,同角三角函數(shù)基本關(guān)系式化簡即可得解.
(2)由于cos∠BAD+cos∠BCD=0,利用余弦定理可求BD的值,進(jìn)而可求cosA,利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求sinA的值,利用三角形面積公式可求四邊形ABCD的面積S,進(jìn)而可求sinB的值,代入即可解得T的值.

解答 解:(1)$T=tan\frac{A}{2}+tan\frac{B}{2}+tan\frac{π-A}{2}+tan\frac{π-B}{2}=tan\frac{A}{2}+cot\frac{A}{2}+tan\frac{B}{2}+cot\frac{B}{2}$=$\frac{{sin\frac{A}{2}}}{{cos\frac{A}{2}}}+\frac{{cos\frac{A}{2}}}{{sin\frac{A}{2}}}+\frac{{sin\frac{B}{2}}}{{cos\frac{B}{2}}}+\frac{{cos\frac{B}{2}}}{{sin\frac{B}{2}}}=\frac{2}{sinA}+\frac{2}{sinB}$.
(2)由于:AB=6,BC=3,CD=4,AD=5,
由題知:cos∠BAD+cos∠BCD=0,
可得:$\frac{{A{B^2}+A{D^2}-B{D^2}}}{2AB•AD}+\frac{{B{C^2}+C{D^2}-B{D^2}}}{2BC•CD}=0⇒B{D^2}=\frac{247}{7}$,
則$cosA=\frac{3}{7}$,$sinA=\frac{2}{7}\sqrt{10}$,
則$S=\frac{1}{2}(AD•AB+CD•BC)sinA=6\sqrt{10}$,
則$S=\frac{1}{2}(AB•BC+AD•CD)sin∠ABC=6\sqrt{10}⇒sin∠ABC=\frac{{6\sqrt{10}}}{19}$,
$\begin{array}{l}T=\frac{2}{sinA}+\frac{2}{sinB}=\frac{2}{{\frac{{2\sqrt{10}}}{7}}}+\frac{2}{{\frac{{6\sqrt{10}}}{19}}}=\frac{{4\sqrt{10}}}{3}\end{array}$.

點(diǎn)評 本題主要考查了三角形內(nèi)角和定理,誘導(dǎo)公式,同角三角函數(shù)基本關(guān)系式,余弦定理,三角形面積公式在解三角形中的綜合應(yīng)用,考查了轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合思想,屬于中檔題.

練習(xí)冊系列答案
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12.已知函數(shù)f(x)=mlnx+(4-2m)x+$\frac{1}{x}$(m∈R).
(1)當(dāng)m>2時,求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)設(shè)t,s∈[1,3],不等式|f(t)-f(s)|<(a+ln3)(2-m)-2ln3對任意的m∈(4,6)恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

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13.對于二次函數(shù)y=-$\frac{1}{4}$x2+x-4,下列說法正確的是(  )
A.當(dāng)x>0時,y隨x的增大而增大B.當(dāng)x=2時,y有最大值-3
C.圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(-2,-7)D.圖象與x軸有兩個交點(diǎn)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

10.某樹苗培育基地為了解其基地內(nèi)榕樹樹苗的長勢情況,隨機(jī)抽取了100株樹苗,分別測出它們的高度(單位:cm),并將所得數(shù)據(jù)分組,畫出頻率分布表如表:
組 距頻 數(shù)頻 率
[100,102)160.16
[102,104)180.18
[104,106)250.25
[106,108)ab
[108,110)60.06
[110,112)30.03
合計1001
(1)求如表中a、b的值;
(2)估計該基地榕樹樹苗平均高度;
(3)若將這100株榕樹苗高度分布的頻率視為概率,從培育基地的榕樹苗中隨機(jī)選出4株,其中在[104,106)內(nèi)的有X株,求X的分布列和期望.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

17.某書店銷售剛剛上市的某知名品牌的高三數(shù)學(xué)單元卷,按事先擬定的價格進(jìn)行5天試銷,每種單價試銷1天,得到如表數(shù)據(jù):
單價x(元)1819202122
銷量y(冊)6156504845
(1)求試銷5天的銷量的方差和y對x的回歸直線方程;
(2)預(yù)計今后的銷售中,銷量與單價服從(1)中的回歸方程,已知每冊單元卷的成本是14元,
為了獲得最大利潤,該單元卷的單價應(yīng)定為多少元?
附:b=$\frac{{\sum_{i=1}^n{{x_i}{y_i}-n\overline x\overline y}}}{{\sum_{i=1}^n{x_i^2}-n{{(\overline x)}^2}}}=\frac{{\sum_{i=1}^n{({x_i}-\overline x)({y_i}-\overline y})}}{{\sum_{i=1}^n{{{({x_i}-\overline x)}^2}}}}$,a=$\overline y$-b$\overline x$.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

7.△ABC的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c.若cosB=$\frac{3}{4}$,且c=2a,則(  )
A.a、b、c成等差數(shù)列B.a、b、c成等比數(shù)列
C.△ABC是直角三角形D.△ABC是等腰三角形

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14.設(shè)集合 A={x|x=$\frac{k}{4}$+$\frac{1}{2}$,k∈Z},B={x|x=$\frac{k}{2}$+$\frac{1}{4}$,k∈Z},則集合 A 與 B 的關(guān)系是( 。
A.A?BB.B?A
C.A=BD.A 與 B 關(guān)系不確定

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

11.設(shè)全集∪={a,b,c,d},集合M={ a,c,d },N={b,d},則(∁UM)∩N等于( 。
A.B.ftpvp1hC.{a,c}D.{b,d}

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題

12.全集U={2,3,4,5,6},集合A={2,5,6},B={3,5},則(∁UA)∩B={3}.

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