Question

13．在直角坐標系xOy中，曲線C₁：$\left\{\begin{array}{l}{x=3-t}\\{y=3+t}\end{array}\right.（t為參數(shù)）$，曲線C₂：x²+（y-1）²=1，以坐標原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系．
（Ⅰ）求曲線C₁，C₂的極坐標方程；
（Ⅱ）若射線l：θ=α（ρ＞0）分別交C₁，C₂于A，B兩點，求$\frac{|OB|}{|OA|}$的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由曲線C₁普通方程為x+y=6可得曲線C₁的極坐標方程；先將曲線C₂化為x²+y²-2y=0，進而可得曲線C₂的極坐標方程；
（Ⅱ）設A（ρ₁，α），B（ρ₂，α），0＜α＜$\frac{3π}{4}$，則ρ₁=$\frac{6}{cosα+sinα}$，ρ₂=2sinα，可得$\frac{|OB|}{|OA|}$=$\frac{1}{3}$sinα（cosα+sinα），進而得到答案．

解答 解：（Ⅰ）曲線C₁：$\left\{\begin{array}{l}{x=3-t}\\{y=3+t}\end{array}\right.（t為參數(shù)）$，普通方程為x+y=6，極坐標方程為ρcosθ+ρsinθ=6；
曲線C₂：x²+（y-1）²=1，即x²+y²-2y=0，∴ρ=2sinθ；
（Ⅱ）設A（ρ₁，α），B（ρ₂，α），0＜α＜$\frac{3π}{4}$，
則ρ₁=$\frac{6}{cosα+sinα}$，ρ₂=2sinα，…（6分）
$\frac{|OB|}{|OA|}$=$\frac{1}{3}$sinα（cosα+sinα）
=$\frac{1}{6}$（sin2α+1-cos2α）=$\frac{1}{6}$[$\sqrt{2}$sin（2α-$\frac{π}{4}$）+1]，…（8分）
當α=$\frac{3π}{8}$時，$\frac{|OB|}{|OA|}$取得最大值$\frac{1}{6}$（$\sqrt{2}$+1）．…（10分）

點評 本題考查的知識點是直線與圓的極坐標方程，圓的參數(shù)方程，三角函數(shù)的最值，難度中檔．