Question

5．以直角坐標系原點為極點，Ox軸非負半軸為極軸建立極坐標系，已知直線l的極坐標方程為ρ（sinθ+cosθ）=1．
（1）求直線l的直角坐標方程；
（2）求直線l被曲線C：$\left\{\begin{array}{l}x=2+\sqrt{5}cosα\\ y=1+\sqrt{5}sinα\end{array}\right.$（α為參數）所截得的弦長．

Answer 1

分析 （1）根據公式ρ•sinθ=y，ρ•cosθ=x求出直線l的直角坐標方程；
（2）將曲線C的參數方程化為普通方程，可得曲線C為圓，求出圓心到直線l的距離，根據弦長公式求出弦長．

解答 解：（1）∵直線l極坐標方程為ρ（sinθ+cosθ）=1
由$sinθ=\frac{y}{ρ}$，$cosθ=\frac{x}{ρ}$得：ρ•sinθ=y，ρ•cosθ=x
于是由直線l極坐標方程ρsinθ+ρcosθ=1得：
直線l直角坐標方程是：x+y-1=0；
（2）曲線C：$\left\{\begin{array}{l}x=2+\sqrt{5}cosα\\ y=1+\sqrt{5}sinα\end{array}\right.$（α為參數）消參得：（x-2）²+（y-1）²=5，
其圖象是圓心為（2，1），半徑為$\sqrt{5}$的圓．
∴圓心到直線l的距離為$d=\frac{2}{{\sqrt{2}}}=\sqrt{2}$，
∴弦長為$2\sqrt{{{（\sqrt{5}）}^2}-{{（\sqrt{2}）}^2}}=2\sqrt{3}$．

點評 本題考查了直角坐標和極坐標的互化，考查了直線和圓相交的弦長公式的運用，屬于基礎題．