已知圓C:(x+4)2+y2=4,圓D的圓心在y軸上且與圓C外切,圓D與y軸交于A、B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B上方)
(Ⅰ)圓D的圓心在什么位置時(shí),圓D與x軸相切;
(Ⅱ)在x軸正半軸上求點(diǎn)P,當(dāng)圓心D在y軸的任意位置時(shí),直線AP與直線BP的夾角為定值,并求此常數(shù).
考點(diǎn):直線和圓的方程的應(yīng)用
專題:綜合題,直線與圓
分析:(I)設(shè)D(0,a),則由題意可得
42+a2
=2+|a|
,解方程,可得a的值,從而可得D的坐標(biāo).
(Ⅱ)假設(shè)存在點(diǎn)P(x,0),根據(jù)直線AP與直線BP的夾角為定值,我們構(gòu)造關(guān)于x的方程,若方程有解,則存在這樣的點(diǎn),若方程無實(shí)根,則不存在這樣的點(diǎn).
解答: 解:(I)設(shè)D(0,a),則
∵圓D與x軸相切,∴圓D半徑r=|a|.
又∵圓D與圓C外切,∴
42+a2
=2+|a|
,
∴16+a2=4+4|a|+a2
∴|a|=3,即a=±3.
∴當(dāng)D在(0,3)或(0,-3)時(shí),圓D與x軸相切;
(Ⅱ)證明:假設(shè)存在點(diǎn)P(x,0),x>0,圓D的方程為x2+(y-a)2=r2
當(dāng)D在y軸上運(yùn)動(dòng)時(shí),令D(0,t),|CD|=
t2+16
,
圓D的半徑R=
t2+16
-2,A(0,t+R),B(0,t-R),
∵∠APB=∠APC-∠BPC,
∴tan∠APB=
2rx
x2+t2-r2
=
2x
t2+16
-4x
4
t2+16
+x2-20
為常數(shù)
2x
4
=
-4x
x2-20
,
∵x>0,
x=2
3
,
∴存在滿足題意的點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2
3
,0),直線AP與直線BP的夾角為
π
3
點(diǎn)評(píng):本題重點(diǎn)考查直線和圓的方程的應(yīng)用,考查直線的傾斜角與斜率,考查存在性問題,有綜合性.
練習(xí)冊(cè)系列答案
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已知sinα=
5
5
,且α是第一象限角.
(1)求cosα的值;
(2)求tan(α+π)+
sin(
2
-α)
cos(π-α)
的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如果一條拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)與x軸有兩個(gè)交點(diǎn),那么以該拋物線的頂點(diǎn)和這兩個(gè)交點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形稱為這條拋物線的“拋物線三角形”.
(Ⅰ)“拋物線三角形”一定是
 
三角形(提示:在答題卡上作答);
(Ⅱ)若拋物線m:y=a(x-2)2+b(a>0,b<0)的“拋物線三角形”是直角三角形,求a,b滿足的關(guān)系式;
(Ⅲ)如圖,△OAB是拋物線n:y=-x2+tx(t>0)的“拋物線三角形”,是
否存在以原點(diǎn)O為對(duì)稱中心的矩形ABCD?若存在,求出過O、C、D三點(diǎn)的拋物線的表達(dá)式;若不存在,說明理由.

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有4個(gè)紅球和6個(gè)白球,每個(gè)球都可以區(qū)分,從中取出4個(gè),
(1)取出紅球比白球多的取法有多少種?
(2)假設(shè)取到一個(gè)紅球得2分,取到一個(gè)白球得1分,那么4個(gè)球的總分不少于5分的取法有多少種?

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在四棱錐P-ABCD中,平面PAD⊥平面ABCD,AB∥CD,在銳角△PAD中PA=PD,并且BD=2AD=8,AB=2DC=4
5

(1)點(diǎn)M是PC上的一點(diǎn),證明:平面MBD⊥平面PAD;
(2)若PA與平面PBD成角60°,當(dāng)面MBD⊥平面ABCD時(shí),求點(diǎn)M到平面ABCD的距離.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,平行四邊形ABCD中,AB=3,BC=2,
AD
AB
=
1
3
|
AB
|2
(Ⅰ)求∠BAD的大;
(Ⅱ)若E為BC邊上的中點(diǎn),F(xiàn)為平行四邊形內(nèi)(包括邊界)的一動(dòng)點(diǎn),求
AE
AF
的最大值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知點(diǎn)P(a,0),對(duì)于拋物線y2=2x上任一點(diǎn)Q,都有|PQ|≥|a|,則實(shí)數(shù)a的取值范圍
 

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如圖,已知線段AB、BD在平面α內(nèi),BD⊥AB,線段AC⊥α,如果AB=2,BD=5,AC=4,則C、D間的距離為
 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

在△ABC中,
AB
=(cos18°,cos72°)
,
BC
=(2cos63°,2cos27°)
,則∠B=
 

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