Question

2．設(shè)函數(shù)f（x）=x²-ax-lnx，a∈R．
（Ⅰ）若函數(shù)f（x）的圖象在x=1處的切線斜率為1，求實(shí)數(shù)a的值；
（Ⅱ）當(dāng)a≥-1時(shí)，記f（x）的極小值為H，求H的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出${f}^{'}（x）=\frac{2{x}^{2}-ax-1}{x}$，（x＞0），由題意知f′（1）=1，由此能求出a．
（Ⅱ）設(shè)f′（x₀）=0，則$2{{x}_{0}}^{2}-a{x}_{0}-1=0$，從而$2{{x}_{0}}^{2}-1=a{x}_{0}$，進(jìn)而f（x）在（0，x₀）遞減，在（x₀，+∞）遞增，則H=f（x）_極小值=$-{{x}_{0}}^{2}+1-ln{x}_{0}$，設(shè)g（a）=$\frac{a+\sqrt{{a}^{2}+8}}{4}$（a≥-1），利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出f（x）極小值H的最大值．

解答 解：（Ⅰ）∵函數(shù)f（x）=x²-ax-lnx，a∈R，∴${f}^{'}（x）=\frac{2{x}^{2}-ax-1}{x}$，（x＞0），
由題意知f′（1）=1，解得a=0．
（Ⅱ）設(shè)f′（x₀）=0，則$2{{x}_{0}}^{2}-a{x}_{0}-1=0$，
則${x}_{0}=\frac{a+\sqrt{{a}^{2}+8}}{4}$，∴$2{{x}_{0}}^{2}-1=a{x}_{0}$，
∴f（x）在（0，x₀）遞減，在（x₀，+∞）遞增，
則H=f（x）_極小值=f（x₀）=${{x}_{0}}^{2}-a{x}_{0}-ln{x}_{0}$=$-{{x}_{0}}^{2}+1-ln{x}_{0}$，
設(shè)g（a）=$\frac{a+\sqrt{{a}^{2}+8}}{4}$（a≥-1），
當(dāng)a≥0時(shí)，g（a）為增函數(shù)，
當(dāng)-1≤a≤0時(shí)，g（a）=$\frac{2}{\sqrt{{a}^{2}+8}-a}$，此時(shí)g（a）為增函數(shù)，
∴${x}_{0}≥h（-1）=\frac{1}{2}$，
∴函數(shù)y=-x²+1-lnx在（0，+∞）上為減函數(shù)，
∴f（x）極小值H的最大值為$\frac{3}{4}+ln2$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查實(shí)數(shù)值的求法，考查函數(shù)的極小值的最大值的求法，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最值，著重考查運(yùn)算求解能力及推理論證能力，是中檔題．