Question

4．已知{a_n}是各項都為正數(shù)的等比數(shù)列，其前n項和為S_n，且S₂=3，S₄=15．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）若數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列，且b₃=a₃，b₅=a₅，試求數(shù)列{b_n}的前n項和M_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)等比數(shù)列{a_n}的公比為q，由題意分析知q≠1．運用等比數(shù)列的求和公式，解方程可得首項與公比，由等比數(shù)列的通項公式即可得到所求；
（Ⅱ）設(shè)數(shù)列{b_n}的公差為d，運用等差數(shù)列的通項公式可得公差和首項，運用等差數(shù)列的求和公式，進(jìn)而得到所求和．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)等比數(shù)列{a_n}的公比為q，由題意分析知q≠1．
由S₂=3，S₄=15得：$\left\{\begin{array}{l}\frac{{{a_1}（{1-{q^2}}）}}{1-q}=3…（1）\\ \frac{{{a_1}（{1-{q^4}}）}}{1-q}=15…（2）\end{array}\right.$，
$\frac{（2）}{（1）}$得1+q²=5，得q²=4，由題意q＞0，所以q=2．
將q=2代入（1）式得a₁=1，
所以${a_n}={a_1}{q^{n-1}}={2^{n-1}}$．
（Ⅱ）設(shè)數(shù)列{b_n}的公差為d，
∵${b_3}={a_3}={2^2}=4，{b_5}={a_5}={2^4}=16$，
又{b_n}為等差數(shù)列，∴b₅=b₃+（5-3）d，
即16=4+2d，解得d=6，
又由b₃=b₁+（3-1）d，得b₁=-8
∴${M_n}=n{b_1}+\frac{{n（{n-1}）}}{2}d=-8n+\frac{{n（{n-1}）}}{2}×6$
=3n²-11n．

點評 本題考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項公式和求和公式的運用，考查運算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．