Question

3．動(dòng)直線l：（3λ+1）x+（1-λ）y+6-6λ=0過(guò)定點(diǎn)P，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，-6），若直線l與x軸的正半軸有公共點(diǎn)，則λ的取值范圍是{λ|λ＞1或λ＜-$\frac{1}{3}$}．

Answer 1

分析 由題意（3λ+1）x+（1-λ）y+6-6λ=0得（其中λ∈R），由此可得方程組，從而可求定點(diǎn)的坐標(biāo)；分類(lèi)討論，即可得到λ的取值范圍．

解答 解：由（3λ+1）x+（1-λ）y+6-6λ=0得：λ（3x-y-6）+（x+y+6）=0，
由$\left\{\begin{array}{l}{3x-y-6=0}\\{x+y+6=0}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=-6}\end{array}\right.$，即直線恒過(guò)定點(diǎn)P（0，-6）；
由（3λ+1）x+（1-λ）y+6-6λ=0，
當(dāng)λ=1時(shí)，即x=0，不滿足題意，
當(dāng)λ≠1時(shí)，當(dāng)y=0時(shí)，（3λ+1）x+6-6λ=0，
若λ=-$\frac{1}{3}$，此時(shí)無(wú)解，
若λ≠-$\frac{1}{3}$，
則x=$\frac{6λ-6}{3λ+1}$，
由直線l與x軸的正半軸有公共點(diǎn)，
∴$\frac{6λ-6}{3λ+1}$＞0，
即（λ-1）（x+$\frac{1}{3}$）＞0，
解得λ＞1或λ＜-$\frac{1}{3}$，
綜上所述λ的范圍為{λ|λ＞1或λ＜-$\frac{1}{3}$}
故答案為：（0，-6），{λ|λ＞1或λ＜-$\frac{1}{3}$}

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線恒過(guò)定點(diǎn)，兩直線交點(diǎn)的意義，直線的斜率的范圍是解得本題的關(guān)鍵，屬于中檔題．