Question

13．已知點P（1，-1）在拋物線C：y=ax²上，過點P作兩條斜率互為相反數(shù)的直線分別交拋物線C于點A、B（異于點P）．
（Ⅰ）求拋物線C的焦點坐標．
（Ⅱ）記直線AB交y軸于點（0，y₀），求y₀的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）將P（1，-1）代入拋物線的方程，解得a的值，即可得到拋物線的焦點坐標；
（Ⅱ）設(shè)直線AP：y+1=k（x-1），代入拋物線的方程，運用韋達定理可得A的坐標，將k換為-k，可得B的坐標，求得直線AB的斜率和方程，令x=0，可得y₀，運用k≠±2，0，即可得到所求范圍．

解答 解：（Ⅰ）將P（1，-1）代入拋物線的方程，
得a=-1，
即有拋物線x²=-y的焦點坐標為$（0，-\frac{1}{4}）$；
（Ⅱ）設(shè)直線AP：y+1=k（x-1），
與拋物線方程y=-x²聯(lián)立消y，得x²+kx-k-1=0，
由1•x_A=-（k+1），即x_A=-（k+1），
將k換為-k，同理可得x_B=k-1，
由題知x_A，x_B，1互不相同，即k≠±2，0，
則AB的斜率${k_{AB}}=\frac{{{y_A}-{y_B}}}{{{x_A}-{x_B}}}=\frac{{-{x_A}^2+{x_B}^2}}{{{x_A}-{x_B}}}=-（{x_A}+{x_B}）=2$，
準線AB：y+（k+1）²=2（x+k+1），
令x=0，可得${y_0}=2（k+1）-{（k+1）^2}$=1-k²，
又k≠±2，0，
則y₀∈（-∞，-3）∪（-3，1）．

點評 本題考查拋物線的方程和運用，考查直線方程和拋物線方程聯(lián)立，運用韋達定理，以及直線的斜率公式，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．