Question

16．已知銳角三角形三邊長(zhǎng)分別為1，3，a，則a的取值范圍是（　　）

• A． 8＜a＜10
• B． 2$\sqrt{2}＜a＜\sqrt{10}$
• C． $2\sqrt{2}＜a＜10$
• D． $\sqrt{10}＜a＜8$

Answer 1

分析 由已知中△ABC三邊長(zhǎng)分別為1、3、a，根據(jù)余弦定理的推論得到△ABC為銳角三角形時(shí)，由兩邊長(zhǎng)1和3求出a的范圍，但3與a邊均有可能為最大邊，故要分類討論．

解答 解：∵△ABC三邊長(zhǎng)分別為1、3、a，
又∵△ABC為銳角三角形，
當(dāng)3為最大邊時(shí)3≥a，設(shè)3所對(duì)的角為α，
則根據(jù)余弦定理得：cosα=$\frac{{a}^{2}+1-{3}^{2}}{2a}$＞0，
∵a＞0，
∴a²-8＞0，
解得3≥a＞2$\sqrt{2}$；
當(dāng)a為最大邊時(shí)a＞3，設(shè)a所對(duì)的角為β，
則根據(jù)余弦定理得：cosβ=$\frac{1+9-{a}^{2}}{6}$＞0，
∴10-a²＞0，
解得：3＜a＜$\sqrt{10}$，
綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍為（2$\sqrt{2}$，$\sqrt{10}$）．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角形的形狀判斷，以及余弦定理的應(yīng)用，利用了分類討論的思想．解答本題的關(guān)鍵是利用余弦定理推論出最大邊所對(duì)角的余弦值大于0，進(jìn)而根據(jù)兩邊長(zhǎng)1和2求出第三邊a的取值范圍，屬于中檔題．