Question

6．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且滿足a₁=$\frac{1}{2}$，a_n+2S_nS_n-1=0（n≥2）
（1）求a_n和S_n
（2）求證：S₁²+S₂²+S₃²+…+S_n²≤$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{4n}$．

Answer 1

分析 （1）確定{$\frac{1}{{S}_{n}}$}是以2為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，可得S_n=$\frac{1}{2n}$，即可求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）利用放縮法，裂項(xiàng)求和法，即可得出結(jié)論

解答 解：（1）n=1時(shí)，S₁=${a_1}=\frac{1}{2}$，n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=-2S_nS_n-1，所以$\frac{1}{S_n}-\frac{1}{{{S_{n-1}}}}=2$
所以數(shù)列{$\frac{1}{{S}_{n}}$}是以$\frac{1}{{S}_{1}}$=2為首項(xiàng)，公差為2的等差數(shù)列．所以$\frac{1}{{S}_{n}}$=2+（n-1）•2=2n，
即S_n=$\frac{1}{2n}$，當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=-2S_nS_n-1=-$\frac{1}{2n（n-1）}$，當(dāng)n=1時(shí)，S₁=a₁=$\frac{1}{2}$，不滿足上式
所以a_n=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}，n=1}\\{-\frac{1}{2n（n-1）}，n≥2}\end{array}\right.$，
（2）當(dāng)n=1時(shí)，S₁²=$\frac{1}{4}$=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{4×1}$，原式成立．
當(dāng)n≥2時(shí)，S₁²+S₂²+S₃²+…+S_n²=$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{4×{2}^{2}}$+$\frac{1}{4×{3}^{2}}$+$\frac{1}{4×{3}^{2}}$+…+$\frac{1}{4×{n}^{2}}$=$\frac{1}{4}$（1+$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{3}^{2}}$+…+$\frac{1}{{n}^{2}}$）≤$\frac{1}{4}$[1+$\frac{1}{1×2}$+$\frac{1}{2×3}$+…+$\frac{1}{n（n-1）}$]=$\frac{1}{4}$（1+1-$\frac{1}{n}$）=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{4n}$
所以S₁²+S₂²+S₃²+…+S_n²≤$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{4n}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)與求和，考查數(shù)列與不等式的綜合，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，確定數(shù)列的通項(xiàng)是關(guān)鍵，屬于中檔題．