Question

6．已知函數(shù)f（x）=e^2x+ax，若當(dāng)x∈（0，+∞）時，總有f（x）＞1，則實數(shù)a的取值范圍為[-2，+∞）．

Answer 1

分析 問題轉(zhuǎn)化為a＞$\frac{1{-e}^{2x}}{x}$在（0，+∞）恒成立，令g（x）=$\frac{1{-e}^{2x}}{x}$，（x＞0），根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出a的范圍即可．

解答 解：若當(dāng)x∈（0，+∞）時，總有f（x）＞1，
即a＞$\frac{1{-e}^{2x}}{x}$在（0，+∞）恒成立，
令g（x）=$\frac{1{-e}^{2x}}{x}$，（x＞0），則g′（x）=$\frac{{e}^{2x}（1-2x）-1}{{x}^{2}}$，（x＞0），
令h（x）=e^2x（1-2x）-1，則h′（x）=-4xe^2x＜0，
h（x）在（0，+∞）遞減，
故h（x）＜h（0）=0，即g′（x）＜0在（0，+∞）恒成立，
故g（x）在（0，+∞）遞減，
而$\underset{lim}{x→0}\frac{1{-e}^{2x}}{x}$=$\underset{lim}{x→0}$（-2e^2x）=-2，
故a≥-2，
故答案為：[-2，+∞）．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，是一道中檔題．