Question

設(shè)向量

a

，

b

滿足|

a

|=|

b

|=1，|3

a

-

b

|=

5

．
（1）求|

a

+3

b

|的值；
（2）求3

a

-

b

與

a

+3

b

夾角的正弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算

專題：平面向量及應(yīng)用

分析：（1）利用數(shù)量積運(yùn)算及其性質(zhì)即可得出；
（2）利用向量的夾角公式和數(shù)量積的性質(zhì)即可得出．

解答： 解：（1）∵向量

a

，

b

滿足|

a

|=|

b

|=1，|3

a

-

b

|=

5

．
∴5=9

a

2+

b

2-6

a

•

b

=9+1-6

a

•

b

，∴

a

•

b

=

5

6

．
因此(

a

+3

b

)2=

a

2+9

b

2+6

a

•

b

=1+9+6×

5

6

=15，
∴|

a

+3

b

|=

15

．
（2）設(shè)3

a

-

b

與

a

+3

b

夾角為θ，
∵(3

a

-

b

)•(

a

+3

b

)=3

a

2+8

a

•

b

-3

b

2=3+8×

5

6

-3=

20

3

．
∴cosθ=

(3 a - b )•( a +3 b )

|3 a - b | | a +3 b |

=

20 3

5 × 15

=

4 3

9

．
∵θ∈[0，π]，∴sinθ=

1-cos2θ

=

1-( 4 3 9 )2

=

33

9

．
∴3

a

-

b

與

a

+3

b

夾角的正弦值為

33

9

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了數(shù)量積的運(yùn)算及其性質(zhì)、向量的夾角公式，屬于基礎(chǔ)題．