【題目】已知函數(shù)f(x)=ex+x2﹣x,g(x)=x2+ax+b,a,b∈R. (Ⅰ)當a=1時,求函數(shù)F(x)=f(x)﹣g(x)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)若曲線y=f(x)在點(0,1)處的切線l與曲線y=g(x)切于點(1,c),求a,b,c的值;
(Ⅲ)若f(x)≥g(x)恒成立,求a+b的最大值.
【答案】解:(Ⅰ)F(x)=ex﹣2x﹣b,則F'(x)=ex﹣2.
令F'(x)=ex﹣2>0,得x>ln2,所以F(x)在(ln2,+∞)上單調(diào)遞增.
令F'(x)=ex﹣2<0,得x<ln2,所以F(x)在(﹣∞,ln2)上單調(diào)遞減.
(Ⅱ)因為f'(x)=ex+2x﹣1,所以f'(0)=0,所以l的方程為y=1.
依題意, ,c=1.
于是l與拋物線g(x)=x2﹣2x+b切于點(1,1),
由12﹣2+b=1得b=2.
所以a=﹣2,b=2,c=1.
(Ⅲ)設h(x)=f(x)﹣g(x)=ex﹣(a+1)x﹣b,則h(x)≥0恒成立.
易得h'(x)=ex﹣(a+1).
⑴當a+1≤0時,
因為h'(x)>0,所以此時h(x)在(﹣∞,+∞)上單調(diào)遞增.
①若a+1=0,則當b≤0時滿足條件,此時a+b≤﹣1;
②若a+1<0,取x0<0且 ,
此時 ,所以h(x)≥0不恒成立.
不滿足條件;
⑵當a+1>0時,
令h'(x)=0,得x=ln(a+1).由h'(x)>0,得x>ln(a+1);
由h'(x)<0,得x<ln(a+1).
所以h(x)在(﹣∞,ln(a+1))上單調(diào)遞減,在(ln(a+1),+∞)上單調(diào)遞增.
要使得“h(x)=ex﹣(a+1)x﹣b≥0恒成立”,必須有:
“當x=ln(a+1)時,h(x)min=(a+1)﹣(a+1)ln(a+1)﹣b≥0”成立.
所以b≤(a+1)﹣(a+1)ln(a+1).則a+b≤2(a+1)﹣(a+1)ln(a+1)﹣1.
令G(x)=2x﹣xlnx﹣1,x>0,則G'(x)=1﹣lnx.
令G'(x)=0,得x=e.由G'(x)>0,得0<x<e;
由G'(x)<0,得x>e.所以G(x)在(0,e)上單調(diào)遞增,在(e,+∞)上單調(diào)遞減,
所以,當x=e時,G(x)max=e﹣1.
從而,當a=e﹣1,b=0時,a+b的最大值為e﹣1.
綜上,a+b的最大值為e﹣1
【解析】(Ⅰ)求出函數(shù)的導數(shù),解關于導函數(shù)的不等式,求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可;(Ⅱ)求出函數(shù)的導數(shù),根據(jù)切線方程求出a,b,c的值即可;(Ⅲ)設h(x)=f(x)﹣g(x),求出函數(shù)的導數(shù),通過討論a的范圍,問題轉(zhuǎn)化為b≤(a+1)﹣(a+1)ln(a+1),得到a+b≤2(a+1)﹣(a+1)ln(a+1)﹣1,
令G(x)=2x﹣xlnx﹣1,x>0,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出a+b的最大值即可.
【考點精析】本題主要考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的最大(小)值與導數(shù)的相關知識點,需要掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導數(shù)的正負有如下關系: 在某個區(qū)間內(nèi),(1)如果,那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增;(2)如果,那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減;求函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟:(1)求函數(shù)在內(nèi)的極值;(2)將函數(shù)的各極值與端點處的函數(shù)值,比較,其中最大的是一個最大值,最小的是最小值才能正確解答此題.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】在考試測評中,常用難度曲線圖來檢測題目的質(zhì)量,一般來說,全卷得分高的學生,在某道題目上的答對率也應較高,如果是某次數(shù)學測試壓軸題的第1、2問得分難度曲線圖,第1、2問滿分均為6分,圖中橫坐標為分數(shù)段,縱坐標為該分數(shù)段的全體考生在第1、2問的平均難度,則下列說法正確的是( )
A.此題沒有考生得12分
B.此題第1問比第2問更能區(qū)分學生數(shù)學成績的好與壞
C.分數(shù)在[40,50)的考生此大題的平均得分大約為4.8分
D.全體考生第1問的得分標準差小于第2問的得分標準差
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
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(Ⅱ)若g(x)=cosxf(x),求g(x)在區(qū)間 上的最大值和最小值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
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A.可能有兩支隊伍得分都是18分
B.各支隊伍得分總和為180分
C.各支隊伍中最高得分不少于10分
D.得偶數(shù)分的隊伍必有偶數(shù)個
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