Question

【題目】平面內(nèi)一個(gè)整點(diǎn)的有限集稱為一個(gè)雙鄰集，如果對(duì)內(nèi)每個(gè)點(diǎn)，恰有點(diǎn)、、、中的兩點(diǎn)在內(nèi).問對(duì)怎樣的正整數(shù)，存在一個(gè)雙鄰集恰包含個(gè)整點(diǎn)?

Answer 1

【答案】和（偶數(shù)）.

【解析】

先證明結(jié)論：

一個(gè)雙鄰集恰包含個(gè)整點(diǎn)，則必為偶數(shù).將橫縱坐標(biāo)中一個(gè)相同，另一個(gè)相差1的兩整點(diǎn)叫作互為相鄰整點(diǎn).用線段連結(jié)中的相鄰整點(diǎn).因?yàn)?/span>中每一整點(diǎn)恰連出兩條線段，因此，雙鄰集內(nèi)全部整點(diǎn)可用連結(jié)相鄰整點(diǎn)的線段組成有限個(gè)不自交的閉折線圖形.

在每一閉折線圖形中，每兩個(gè)相鄰整點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)之和只相差1，橫縱坐標(biāo)之和依次為偶數(shù)、奇數(shù)、偶數(shù)、奇數(shù)、……，交替出現(xiàn).由于是閉折線，則任一個(gè)閉折線圖形整點(diǎn)個(gè)數(shù)必為偶數(shù)個(gè).

再證：和（偶數(shù)）.

當(dāng)時(shí)，2個(gè)整點(diǎn)顯然無法構(gòu)成一個(gè)雙鄰集.

當(dāng)時(shí)，由于3個(gè)及3個(gè)以下的整點(diǎn)無法組

成閉折線圖形，則6個(gè)整點(diǎn)要成為一個(gè)雙鄰集，6個(gè)點(diǎn)組成的閉折線圖形只能是圖5所示的兩圖形之一.

圖中兩圖形顯然都不是雙鄰集.

4個(gè)整點(diǎn)、、、恰組成一個(gè)雙鄰集（邊長為1的正方形），則.

注意到10個(gè)整點(diǎn)、、、、、、、、、也組成一個(gè)雙鄰集（長為3寬為2的矩形邊上的10個(gè)整點(diǎn)）.

因此，當(dāng)時(shí)，取個(gè)4整點(diǎn)組成的雙鄰集，每兩個(gè)雙鄰集的距離（一個(gè)相鄰集中任一點(diǎn)到另一雙鄰集中任一點(diǎn)距離的最小值）大于1，將這個(gè)4整點(diǎn)雙鄰集合并為一個(gè)集合，這個(gè)集合當(dāng)然是恰含4個(gè)整點(diǎn)的雙鄰集.

當(dāng)時(shí)，由于，取個(gè)4整點(diǎn)組成的雙鄰集，取一個(gè)10整點(diǎn)組成的雙鄰集，每兩個(gè)雙鄰集的距離大于1.將這個(gè)4整點(diǎn)雙鄰集與一個(gè)10整點(diǎn)雙鄰集合并為一個(gè)集合，這個(gè)集合當(dāng)然是恰含個(gè)整點(diǎn)的雙鄰集.

因此，和（偶數(shù)）.