Question

16．O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)F是雙曲線2x²-2y²=1與拋物線y²=2px的公共焦點(diǎn)，點(diǎn)A在拋物線y²=2px上，M在線段AF上，且|AF|=2|MF|，則直線OM斜率的最大值為$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

Answer 1

分析 由雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，求得焦點(diǎn)坐標(biāo)，求得p的值，設(shè)A點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算求得$\overrightarrow{OM}$=（$\frac{{y}_{0}^{2}}{12}$+$\frac{2}{3}$，$\frac{{y}_{0}}{3}$），利用直線的斜率公式及基本不等式的性質(zhì)，即可求得直線OM斜率的最大值．

解答 解：由雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：$\frac{{x}^{2}}{\frac{1}{2}}-\frac{{y}^{2}}{\frac{1}{2}}=1$，則a²=$\frac{1}{2}$，b²=$\frac{1}{2}$，
則c²=a²+b²=1，則雙曲線的焦點(diǎn)F（±1，0），p=2，
則拋物線y²=4x的焦點(diǎn)（1，0），設(shè)A（$\frac{{y}_{0}^{2}}{4}$，y₀），
顯然當(dāng)y₀＜0，k_OM＜0；當(dāng)y₀＞0，k_OM＞0．
要求k_OM的最大值，設(shè)y₀＞0，
則$\overrightarrow{OM}$=$\overrightarrow{OF}$+$\overrightarrow{FM}$=$\overrightarrow{OF}$+$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{FA}$=$\overrightarrow{OF}$+$\frac{1}{3}$（$\overrightarrow{OA}$-$\overrightarrow{OF}$）
=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{OA}$+$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{OF}$=（$\frac{{y}_{0}^{2}}{12}$+$\frac{2}{3}$，$\frac{{y}_{0}}{3}$），
可得k_OM=$\frac{\frac{{y}_{0}}{3}}{\frac{{y}_{0}^{2}}{12}+\frac{2}{3}}$=$\frac{2}{\frac{{y}_{0}}{2}+\frac{4}{{y}_{0}}}$≤$\frac{2}{2\sqrt{\frac{{y}_{0}}{2}×\frac{4}{{y}_{0}}}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
當(dāng)且僅當(dāng)y₀²=8，即y₀=2$\sqrt{2}$，取得等號(hào)．
直線OM斜率的最大值$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
故答案為：$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，直線的斜率公式，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．