Question

11．已知函數(shù)f（x）=sin（3x+3φ）-2sin（x+φ）cos（2x+2φ），其中|φ|＜π，若f（x）在區(qū)間$（{\frac{π}{6}，\frac{2π}{3}}）$上單調(diào)遞減，則φ的最大值為$\frac{5π}{6}$．

Answer 1

分析 利用兩角和與差將函數(shù)化為y=Asin（ωx+φ）的形式，根據(jù)f（x）在區(qū)間$（{\frac{π}{6}，\frac{2π}{3}}）$上單調(diào)遞減，可得φ的最大值．

解答 解：函數(shù)f（x）=sin（3x+3φ）-2sin（x+φ）cos（2x+2φ），其中|φ|＜π，
化簡可得f（x）=sin[（2x+2φ）+（x+φ）]-2sin（x+φ）cos（2x+2φ）=sin（2x+2φ）cos（x+φ）-sin（x+φ）cos（2x+2φ）=sin（x+φ）
由$\frac{π}{2}+2kπ$≤x+φ$≤\frac{3π}{2}+2kπ$，k∈Z
可得：$\frac{π}{2}+2kπ$-φ≤x$≤\frac{3π}{2}+2kπ$-φ．
∵f（x）在區(qū)間$（{\frac{π}{6}，\frac{2π}{3}}）$上單調(diào)遞減，
∴$\frac{π}{2}+2kπ$-φ$≤\frac{π}{6}$，且$\frac{3π}{2}+2kπ$-φ$≥\frac{2π}{3}$，
解得：2kπ≤φ$≤\frac{5π}{6}$，
|φ|＜π，
∴φ的最大值為$\frac{5π}{6}$．
故答案為$\frac{5π}{6}$．

點評 本題主要考查對三角函數(shù)的化簡能力和三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)的運用，利用兩角和與差的公式．屬于中檔題