【題目】設(shè){an}{bn}是兩個等差數(shù)列,cn=max{b1-a1n,b2-a2n,…,bn-ann}(n=1,2,3,…),其中max{x1,x2,…,xs}表示x1,x2,…,xss個數(shù)中最大的數(shù).

()an=n,bn=2n-1,c1,c2,c3的值,并證明{cn}是等差數(shù)列;

()證明:或者對任意正數(shù)M,存在正整數(shù)m,當(dāng)nm, >M;或者存在正整數(shù)m,使得cm,cm+1,cm+2,…是等差數(shù)列.

【答案】 () 見解析;() 見解析.

【解析】試題分析:(Ⅰ)讀懂新定義{cn}的含義,即可求得{cn}的通項公式;

(Ⅱ)結(jié)合新定義,通過對d1的分類討論,進(jìn)而證明.

試題解析:

()c1=b1-a1=1-1=0,

c2=max{b1-2a1,b2-2a2}=max{1-2×1,3-2×2}=-1,

c3=max{b1-3a1,b2-3a2,b3-3a3}=max{1-3×1,3-3×2,5-3×3}=.

當(dāng)n≥3,

(bk+1-nak+1)-(bk-nak)=(bk+1-bk)-n(ak+1-ak)=2-n<0,

所以bk-nak關(guān)于kN*單調(diào)遞減.

所以cn=max{b1-a1n,b2-a2n,…,bn-ann}=b1-a1n=1-n.

所以對任意n≥1,cn=1-n,于是cn+1-cn=-1,

所以{cn}是等差數(shù)列.

()設(shè)數(shù)列{an}{bn}的公差分別為d1,d2,

bk-nak=b1+(k-1)d2-[a1+(k-1)d1]n

=b1-a1n+(d2-nd1)(k-1).

所以cn=

①當(dāng)d1>0,

取正整數(shù)m>,則當(dāng)nm,nd1>d2,因此cn=b1-a1n.

此時,cm,cm+1,cm+2,…是等差數(shù)列.

②當(dāng)d1=0,對任意n≥1,

cn=b1-a1n+(n-1)max{d2,0}=b1-a1+(n-1)(max{d2,0}-a1).

此時,c1,c2,c3,…,cn,…是等差數(shù)列.

③當(dāng)d1<0,

當(dāng)n>,nd1<d2.

所以

=n(-d1)+d1-a1+d2+

n(-d1)+d1-a1+d2-|b1-d2|.

對任意正數(shù)M,取正整數(shù)m>max{,},

故當(dāng)nm, >M.

練習(xí)冊系列答案
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