Question

【題目】已知函數(shù)，

（1）求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；

（2）若關(guān)于的方程在區(qū)間上有兩個不等的根，求實數(shù)的取值范圍；

（3）若存在，當時，恒有，求實數(shù)的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）;（2） ;（3）

【解析】

試題分析：（1）由題已知函數(shù),求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，可按照先求導(dǎo)，再令，又解出對應(yīng)的不等式的解集，可得；（注意定義域優(yōu)先）

（2）由在區(qū)間上有兩個根，可通過構(gòu)造函數(shù)，轉(zhuǎn)而利用導(dǎo)數(shù)考察函數(shù)的單調(diào)性和極值，再結(jié)合零點判定定理可建立關(guān)于不等式組，可求。

（3）由，都有為恒成立問題，可構(gòu)造函數(shù)，又，只需函數(shù)在給定的區(qū)間上單調(diào)遞增即可，可利用導(dǎo)數(shù)，讓導(dǎo)函數(shù)再區(qū)間上恒大于零可解出的取值范圍.

試題解析：解：（1）因為函數(shù)的定義域為，

且，

令，即解之得:

所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為

（2）令，

且定義域為

所以,令，，

列表如下：

		1
	+	0	-
	遞增	極大值	遞減

所以函數(shù)在區(qū)間先單調(diào)遞減后單調(diào)遞增，故要使有兩個不等的根，

只須即所以

（3）令，且

要使存在，當時，恒有，

則只須即可，

也就是存在，當時函數(shù)是單調(diào)遞增的，

又因為，只須在時成立，

即，解得，所以的取值范圍是.