Question

5．某金匠以黃金為原材料加工一種飾品，由于加工難度大，該金匠平均每加工5個飾品中有4個成品和1個廢品，每個成品可獲利3萬元，每個廢品損失1萬元，假設該金匠加工每件飾品互不影響．
（Ⅰ）若該金匠加工4個飾品，求其中廢品的數(shù)量不超過1的概率？
（Ⅱ）若該金匠加工了3個飾品，求他所獲利潤的數(shù)學期望．（兩小問的計算結(jié)果都用分數(shù)表示）

Answer 1

分析 （Ⅰ）依題意，該金匠加工飾品的廢品率為$\frac{1}{5}$，由此利用n次獨立重復試驗中事件A恰好發(fā)生k次的概率計算公式能求出他加工的4個飾品中，廢品的數(shù)量不超過1的概率．
（Ⅱ）設X為加工出的成品數(shù)，則X可能的取值為0，1，2，3，分別求出相應的概率，由此能求出該金匠所獲利潤的數(shù)學期望．

解答 解：（Ⅰ）依題意，該金匠加工飾品的廢品率為$\frac{1}{5}$，
他加工的4個飾品中，廢品的數(shù)量不超過1的概率為：
p=$C_4^1×\frac{1}{5}×{（\frac{4}{5}）^3}+{（\frac{4}{5}）^4}=\frac{512}{625}$．
（Ⅱ）設X為加工出的成品數(shù)，則X可能的取值為0，1，2，3，
$P（X=0）={（\frac{1}{5}）^3}=\frac{1}{125}$，
$P（X=1）=C_3^1×\frac{4}{5}×{（\frac{1}{5}）^2}=\frac{12}{125}$，
$P（X=2）=C_3^2×{（\frac{4}{5}）^2}×\frac{1}{5}=\frac{48}{125}$，
$P（X=3）={（\frac{4}{5}）^3}=\frac{64}{125}$，
∴$E（X）=\frac{1}{125}×（-3）+\frac{12}{125}×（3-2）+\frac{48}{125}×（6-1）+\frac{64}{125}×9=\frac{33}{5}$，
故該金匠所獲利潤的數(shù)學期望是$\frac{33}{5}$萬元．

點評 本題考查概率的求法，考查離散型隨機變量的分布列及數(shù)學期望的求法及應用，考查推理論證能力、運算求解能力，考查函數(shù)與方程思想、化歸轉(zhuǎn)化思想，是中檔題．