Question

10．已知球O是正三棱錐（底面為正三角形，頂點(diǎn)在底面的射影為底面中心）A-BCD的外接球，BC=3，AB=2$\sqrt{3}$，點(diǎn)E在線段BD上，且BD=3BE，過點(diǎn)E作球O的截面，則所得截面圓面積的取值范圍是[2π，4π]．

Answer 1

分析 設(shè)△BDC的中心為O₁，球O的半徑為R，
連接oO₁D，OD，O₁E，OE，可得R²=3+（3-R）²，解得R=2，
過點(diǎn)E作圓O的截面，當(dāng)截面與OE垂直時(shí)，截面的面積最小，當(dāng)截面過球心時(shí)，截面面積最大，即可求解．

解答 解：如圖，設(shè)△BDC的中心為O₁，球O的半徑為R，
連接oO₁D，OD，O₁E，OE，
則${O}_{1}D=3sin6{0}^{0}×\frac{2}{3}=\sqrt{3}$，AO₁=$\sqrt{A{D}^{2}-D{{O}_{1}}^{2}}=3$，
在Rt△OO₁D中，R²=3+（3-R）²，解得R=2，
∵BD=3BE，∴DE=2
在△DEO₁中，O₁E=$\sqrt{3+4-2×\sqrt{3}×2×cos3{0}^{0}}=1$
∴$OE=\sqrt{{O}_{1}{E}^{2}+O{{O}_{1}}^{2}}=\sqrt{2}$
過點(diǎn)E作圓O的截面，當(dāng)截面與OE垂直時(shí)，截面的面積最小，
此時(shí)截面圓的半徑為$\sqrt{{2}^{2}-（\sqrt{2}）^{2}}=\sqrt{2}$，最小面積為2π．
當(dāng)截面過球心時(shí)，截面面積最大，最大面積為4π．
故答案為[2π，4π]

點(diǎn)評(píng) 本題考查了球與三棱錐的組合體，考查了空間想象能力，轉(zhuǎn)化思想，解題關(guān)鍵是要確定何時(shí)取最值，屬于中檔題．