Question

18．已知函數(shù)f（x）=x-aln x．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）當x=2時，函數(shù)f（x）取得極小值，求a的值；
（3）若函數(shù)f（x）有兩個零點，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導數(shù)，通過討論a的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；
（2）求出函數(shù)的導數(shù)，得到f′（2）=0，解出即可；
（3）通過討論a的范圍，求出函數(shù)f（x）的最小值，結(jié)合函數(shù)的圖象，求出a的范圍即可．

解答 解：（1）因為f（x）=x-alnx，所以$f'（x）=1-\frac{a}{x}=\frac{x-a}{x}$（x＞0），
當a≤0時，f'（x）＞0，所以f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（0，+∞）；
當a＞0時，若0＜x＜a，f'（x）＜0；若x＞a，f'（x）＞0；
所以f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是（0，a），單調(diào)遞增區(qū)間是（a，+∞）．
（2）因為當x=2時，函數(shù)f（x）取得極小值，所以f'（2）=0，即$1-\frac{a}{2}=0$，解得a=2．
（3）當a≤0時，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（0，+∞），函數(shù)f（x）至多一個零點，不符合題意．
當a＞0時，由（1）得f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是（0，a），單調(diào)遞增區(qū)間是（a，+∞），
所以f（x）_min=f（a）=a（1-lna）．
當x→0時，f（x）→+∞，所以函數(shù)f（x）的圖象可知，f（a）=a（1-lna）＜0，解得a＞e，
所以a的取值范圍是（e，+∞）．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導數(shù)的應用以及分類討論思想，轉(zhuǎn)化思想，是一道中檔題．