Question

11．在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，異面直線AD，BD₁所成角的余弦值為$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

Answer 1

分析 以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DD₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出異面直線AD，BD₁所成角的余弦值．

解答 解：以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DD₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中棱長(zhǎng)為1，
則A（1，0，0），D（0，0，0），B（1，1，0），D₁（0，0，1），
$\overrightarrow{AD}$=（-1，0，0），$\overrightarrow{B{D}_{1}}$=（-1，-1，1），
設(shè)異面直線AD，BD₁所成角為θ，
則cosθ=$\frac{|\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{B{D}_{1}}|}{|\overrightarrow{AD}|•|\overrightarrow{B{D}_{1}}|}$=$\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$．
∴異面直線AD，BD₁所成角的余弦值為$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
故答案為：$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查異面直線所成角的余弦值的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．