5.如圖,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,D,M分別是AA1,BC的中點(diǎn),∠CDC1=90°,在△ABC中,AB=2AC,∠BAC=60°.
(1)證明:AM∥平面BDC1;
(2)證明:DC1⊥平面BDC.

分析 (1)取BC1的中點(diǎn)N,連接DN,MN,證明:四邊形ADNM為平行四邊形,可得DN∥AM,即可證明AM∥平面BDC1;
(2)證明:DC1⊥BC,DC1⊥DC,且DC∩BC=C,即可證明DC1⊥平面BDC.

解答 證明:(1)取BC1的中點(diǎn)N,連接DN,MN,
則$MN∥\frac{1}{2}C{C_1}$且$MN=\frac{1}{2}C{C_1}$.
又$AD∥\frac{1}{2}C{C_1}$且$AD=\frac{1}{2}C{C_1}$,
∴AD∥MN,且AD=MN,
∴四邊形ADNM為平行四邊形,
∴DN∥AM.
又DN?平面BDC1,AM?平面BDC1,
∴AM∥平面BDC1
(2)由題設(shè)AC=1,則AB=2,
由余弦定理,得$BC=\sqrt{3}$.
由勾股定理,得∠ACB=90°,BC⊥AC1
又∵BC⊥CC1,且CC1∩AC=C,
∴BC⊥平面ACC1A1
又DC1?平面ACC1A1,∴DC1⊥BC.
又DC1⊥DC,且DC∩BC=C,
∴DC1⊥平面BDC.

點(diǎn)評(píng) 本小題主要考查空間線面關(guān)系等知識(shí),考查數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法,以及空間想象能力、推理論證能力和運(yùn)算求解能力.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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$(\begin{array}{l}{{a}_{11}}&{{a}_{12}}&{…}&{{a}_{1n}}\\{{a}_{21}}&{{a}_{22}}&{…}&{{a}_{2n}}\\{…}&{…}&{…}&{…}\\{{a}_{n1}}&{{a}_{n2}}&{…}&{{a}_{nn}}\end{array})$
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