19.已知橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0,c=\sqrt{{a^2}-{b^2}},e=\frac{c}{a})$,其左、右焦點分別為F1,F(xiàn)2,關于橢圓有以下四種說法:
(1)設A為橢圓上任一點,其到直線${l_1}:x=-\frac{a^2}{c},{l_2}:x=\frac{a^2}{c}$的距離分別為d2,d1,則$\frac{{|A{F_1}|}}{d_1}=\frac{{|A{F_2}|}}{d_2}$;
(2)設A為橢圓上任一點,AF1,AF2分別與橢圓交于B,C兩點,則$\frac{{|A{F_1}|}}{{|{F_1}B|}}+\frac{{|A{F_2}|}}{{|{F_2}C|}}≥\frac{{2(1+{e^2})}}{{1-{e^2}}}$(當且僅當點A在橢圓的頂點取等);
(3)設A為橢圓上且不在坐標軸上的任一點,過A的橢圓切線為l,M為線段F1F2上一點,且$\frac{{|A{F_1}|}}{{|A{F_2}|}}=\frac{{|{F_1}M|}}{{|M{F_2}|}}$,則直線AM⊥l;
(4)面積為2ab的橢圓內接四邊形僅有1個.
其中正確的有( 。﹤.
A.1B.2C.3D.4

分析 (1)根據(jù)橢圓的第二定義可知$\frac{A{F}_{1}}{6iienmn_{2}}=\frac{A{F}_{2}}{gxx676o_{1}}=e$;
(2),分別取點A為橢圓的四個頂點驗證,符合題意;
(3),由$\frac{{|A{F_1}|}}{{|A{F_2}|}}=\frac{{|{F_1}M|}}{{|M{F_2}|}}$,得AM為∠F1AF2的角平分線,得直線AM⊥l;
(4),當四邊形的四個頂點為橢圓的定點時和分布在四個象限都可以.

解答 解:對于(1)根據(jù)橢圓的第二定義可知$\frac{A{F}_{1}}{nk4qbfu_{2}}=\frac{A{F}_{2}}{yqqk9h6_{1}}=e$,故錯;
對于(2),分別取點A為橢圓的四個頂點驗證,符合題意,故正確;
對于(3),A為橢圓上且不在坐標軸上的任一點,過A的橢圓切線為l,則∠F1AF2的角平分線垂直l,∵$\frac{{|A{F_1}|}}{{|A{F_2}|}}=\frac{{|{F_1}M|}}{{|M{F_2}|}}$,∴AM為∠F1AF2的角平分線,故正確;
對于(4),當四邊形的四個頂點為橢圓的定點時和分布在四個象限都可以,故錯.
故答案為:B.

點評 本題考查了橢圓的性質,比較難,但可以采用特殊情況驗證法判定,屬于壓軸題.

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