Question

7．設數列{a_n}的前n項和為S_n，a₁=1，滿足$\overrightarrow a=（{S_{n+1}}-2{S_n}，{S_n}）$，$\overrightarrow b=（2，n）$，$\overrightarrow a∥\overrightarrow b$．
（1）求證：數列$\{\frac{S_n}{n}\}$為等比數列；
（2）求數列{S_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （1）先根據向量的平行得到n（S_n+1-2S_n）=2S_n，繼而得到$\frac{{S}_{{\;}_{n+1}}}{n+1}$=2•$\frac{{S}_{n}}{n}$，問題得以證明，
（2）由（1）可得以${S_n}=n•{2^{n-1}}$，由錯位相減法即可求出數列{S_n}的前n項和T_n．

解答 證明：（1）$\overrightarrow a=（{S_{n+1}}-2{S_n}，{S_n}）$，$\overrightarrow b=（2，n）$，$\overrightarrow a∥\overrightarrow b$．
∴n（S_n+1-2S_n）=2S_n，
∴$\frac{{S}_{{\;}_{n+1}}}{n+1}$=2•$\frac{{S}_{n}}{n}$，
∴a₁=1，
∴$\frac{{S}_{1}}{1}$=1，
∴數列$\{\frac{S_n}{n}\}$是以1為首項，以2為公比的等比數列
（2）由（1）知$\frac{S_n}{n}={2^{n-1}}（n∈{N^+}）$，
∴${S_n}=n•{2^{n-1}}$，
∴T_n=1×2⁰+2×2¹+3×2²+…+n•2^n-1，
∴2T_n=1×2¹+2×2²+…+（n-1）•2^n-1+n•2ⁿ，
由錯位相減得-T_n=1+2¹+2²+…+2^n-1-n•2ⁿ=$\frac{1（1-{2}^{n}）}{1-2}$-n•2ⁿ=2ⁿ-1-n•2ⁿ=（1-n）2ⁿ-1，
∴T_n=（n-1）2ⁿ+1

點評 本題考查了向量的平行和等比數列的定義和錯位相減法求和，屬于中檔題．