Question

16．已知函數(shù)f（x）=x+$\frac{4a}{x}$-1，g（x）=alnx，a∈R．
（Ⅰ）若函數(shù)h（x）=f（x）-g（x）在[1，3]上為減函數(shù)，求a的最小值；
（Ⅱ）若函數(shù)p（x）=（2-x³）•e^x（e=2.718…，e為自然對數(shù)的底數(shù)），q（x）=$\frac{g（x）}{x}$+2，對于任意的x₁，x₂∈（0，1），恒有p（x₁）＞q（x₂）成立，求a的范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)h（x）=f（x）-g（x），由h（x）在[1，3]上為減函數(shù)，可得h′（x）=1-$\frac{4a}{{x}^{2}}$-$\frac{a}{x}$≤0，即a≥$\frac{{x}^{2}}{x+4}$在[1，3]上恒成立．構(gòu)造函數(shù)t（x）=$\frac{{x}^{2}}{x+4}$，利用導(dǎo)數(shù)求其最大值得到a的最小值；
（Ⅱ）對任意的x₁，x₂∈（0，1），恒有p（x₁）＞q（x₂）成立，等價于對任意的x∈（0，1）都有p_min（x）＞q_max（x）成立，利用導(dǎo)數(shù)求得p（x）、q（x）在（0，1）上的范圍，結(jié)合p_min（x）＞q_max（x）求得a的范圍．

解答 解：（Ⅰ）f（x）=x+$\frac{4a}{x}$-1，g（x）=alnx，
則h（x）=f（x）-g（x）=x+$\frac{4a}{x}$-1-alnx，h′（x）=1-$\frac{4a}{{x}^{2}}$-$\frac{a}{x}$，
∵函數(shù)h（x）=f（x）-g（x）在[1，3]上為減函數(shù)，
∴h′（x）=1-$\frac{4a}{{x}^{2}}$-$\frac{a}{x}$≤0，即a≥$\frac{{x}^{2}}{x+4}$在[1，3]上恒成立．
令t（x）=$\frac{{x}^{2}}{x+4}$，則t′（x）=$\frac{{x}^{2}+8x}{（x+4）^{2}}$＞0，∴t（x）=$\frac{{x}^{2}}{x+4}$在[1，3]上為增函數(shù)，
則$t（x）_{max}=t（3）=\frac{9}{7}$．
∴a的最小值為$\frac{9}{7}$；
（Ⅱ）對任意的x₁，x₂∈（0，1）都有p（x₁）＞q（x₂）成立，等價于對任意的x∈（0，1）都有p_min（x）＞q_max（x）成立，
當(dāng)x∈（0，1）時，p′（x）=（2-3x²-x³）•e^x=-（x²+2x-2）（x+1）•e^x，
當(dāng)x∈（0，$\sqrt{3}-1$）時，p′（x）＞0，當(dāng)x∈（$\sqrt{3}-1$，+∞）時，p′（x）＜0，
∴p（x）在（0，1）上先增后減，由p（0）=2，p（1）=e，
則p（x）＞2；
q（x）=$\frac{g（x）}{x}$+2=$\frac{alnx}{x}+2$，q′（x）=$\frac{a-alnx}{{x}^{2}}=\frac{a（1-lnx）}{{x}^{2}}$，
若a＜0，q′（x）≤0，q（x）=$\frac{alnx}{x}+2$在（0，1）上單調(diào)遞減，不合題意；
若a＞0，q′（x）＞0，q（x）=$\frac{alnx}{x}+2$在（0，1）上單調(diào)遞增，則q（x）＜2，符合題意；
若a=0，q（x）=2，符合題意．
綜上，a的范圍是a≥0．

點評 本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值、閉區(qū)間上函數(shù)的最值及函數(shù)恒成立問題，考查轉(zhuǎn)化思想、分類討論思想，考查學(xué)生分析解決問題的能力，解決本題的關(guān)鍵是對問題進行恰當(dāng)轉(zhuǎn)化．