Question

4．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1}{x}，x＜0}\\{\frac{x}{{x}^{2}+1}，x≥0}\end{array}\right.$，若函數(shù)g（x）=f（x）-t有三個不同的零點x₁，x₂，x₃，且x₁＜x₂＜x₃，則-$\frac{1}{{x}_{1}}$+$\frac{1}{{x}_{2}}$+$\frac{1}{{x}_{3}}$的取值范圍是（$\frac{5}{2}$，+∞）．

Answer 1

分析 畫出函數(shù)的圖象，求出x≥0時f（x）的最大值，判斷零點的范圍，然后推出結(jié)果．

解答 解：函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1}{x}，x＜0}\\{\frac{x}{{x}^{2}+1}，x≥0}\end{array}\right.$，圖象如圖，函數(shù)g（x）=f（x）-t有三個不同的零點x₁，x₂，x₃，且x₁＜x₂＜x₃，即方程f（x）=t有三個不同的實數(shù)根x₁，x₂，x₃，且x₁＜x₂＜x₃，
當x＞0時，f（x）=$\frac{1}{x+\frac{1}{x}}$，因為x+$\frac{1}{x}$≥2（x＞0），
所以f（x）$≤\frac{1}{2}$，當且僅當x=1時取得最大值．
當y=$\frac{1}{2}$時，x₁=-2；x₂=x₃=1，此時-$\frac{1}{{x}_{1}}$+$\frac{1}{{x}_{2}}$+$\frac{1}{{x}_{3}}$=$\frac{5}{2}$，
由函數(shù)的圖象可知x₁＜-2；0＜x₂$＜\frac{1}{2}$＜x₃，
可得：0＜-$\frac{1}{{x}_{1}}$$＜\frac{1}{2}$；$\frac{1}{{x}_{2}}$＞1；0＜$\frac{1}{{x}_{3}}$＜1，
則-$\frac{1}{{x}_{1}}$+$\frac{1}{{x}_{2}}$+$\frac{1}{{x}_{3}}$的取值范圍是（$\frac{5}{2}$，+∞）．
故答案為：（$\frac{5}{2}$，+∞）．

點評 本題考查函數(shù)的零點個數(shù)的判斷與應(yīng)用，基本不等式的應(yīng)用，考查數(shù)形結(jié)合思想以及轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用．