Question

11．如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁=AC=1，BC=$\sqrt{2}$，AB=$\sqrt{3}$，M是棱B₁C₁的中點(diǎn)，N是對(duì)角線AB₁的中點(diǎn)．
（1）求證：CN⊥平面BNM；
（2）求二面角C-BN-B₁的余弦值．

Answer 1

分析 （1）推導(dǎo)出AC⊥BC，AC⊥CC₁，從而AC⊥平面BCC₁B₁，連接CA₁，NA₁，則B、A₁、N三點(diǎn)共線，推導(dǎo)出CN⊥BA₁，CN⊥MN，由線面垂直的判定定理得CN⊥平面BNM．
（2）連接AC₁交CA₁于點(diǎn)H，推導(dǎo)出AH⊥BA₁，HQ⊥BA₁，則∠AQH是二面角A-BA₁-C的平面角．由此能求出二面角C-BN-B₁的余弦值．

解答 證明：（1）因?yàn)锳C=1，$BC=\sqrt{2}，AB=\sqrt{3}$，
所以AC²+BC²=AB²，即AC⊥BC
又AC⊥CC₁，BC∩CC₁=C，所以AC⊥平面BCC₁B₁，
連接CA₁，NA₁，則B、A₁、N三點(diǎn)共線，則$C{A_1}=\sqrt{2}=CB$，
所以△CA₁B是等腰三角形，又N是BA₁的中點(diǎn)，所以CN⊥BA₁．
連接A₁M，則RT△BB₁M≌RT△A₁C₁M，A₁M=BM，
所以△BA₁M是等腰三角形，
所以MN⊥A₁B．因?yàn)?BM=\sqrt{1+{{（\frac{{\sqrt{2}}}{2}）}^2}}=\frac{{\sqrt{6}}}{2}，BN=\frac{1}{2}{A_1}B=1$，
由勾股定理得$MN=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，即${C_1}M=MN=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$．
在△MCN和△CC₁M中，$CN=\frac{1}{2}{A_1}B=1={C_1}C，{C_1}M=MN，CM=CM$，
所以△MCN≌△MCC₁，因?yàn)椤螩C₁M=90°，所以∠CNM=90°，即CN⊥MN
又BN∩NM=N，所以依據(jù)線面垂直的判定定理得CN⊥平面BNM．
解：（2）依題意CB⊥平面ACC₁A₁，連接AC₁交CA₁于點(diǎn)H，因?yàn)閭?cè)面ACC₁A₁是正方形，
所以AC₁⊥CA₁，所以AH⊥平面BCA₁，即AH⊥BA₁．
取線段NA₁的中點(diǎn)Q，連接HQ、AQ，則HQ是△CA₁N的中位線，HQ∥CN，
由（1）知CN⊥A₁B，所以HQ⊥BA₁，所以BA₁⊥平面AHQ，
則∠AQH是二面角A-BA₁-C的平面角．
因?yàn)镃N=1，所以$HQ=\frac{1}{2}$，
在△BA₁A中，${A_1}A=1，AB=\sqrt{3}，{A_1}B=2，{A_1}{A^2}+A{B^2}={A_1}{B^2}$，
所以△BA₁A為直角三角形，則$AQ=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
所以$cos∠AQH=\frac{QH}{AQ}=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，
又二面角C-BN-B₁的平面角是∠AQH的補(bǔ)角，
所以二面角C-BN-B₁的余弦值是$-\frac{{\sqrt{3}}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．