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20.四面體ABCD及其三視圖如圖1,2所示.

(1)求四面體ABCD的體積;
(2)若點E為棱BC的中點,求異面直線DE和AB所成角的余弦值.

分析 (1)根據直角三角形性質,得:BD⊥DC,AD⊥DC,由此能示出四面體ABCD的體積.
(2)取AC中點F,連DF,EF,則∠DEF為AB與DE所成角或補角.由此能示出異面直線DE和AB所成角的余弦值.

解答 解:(1)根據直角三角形性質,得:BD⊥DC,AD⊥DC,
∴l(xiāng)1=AD=1,${S_{BDC}}=2×2×\frac{1}{2}=2$,
∴四面體ABCD的體積$V=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×2×1=\frac{2}{3}$.
(2)取AC中點F,連DF,EF,則∠DEF為AB與DE所成角或補角.
$PE=\frac{1}{2}AB=\frac{{\sqrt{5}}}{2},DE=\frac{2S}{PC}=\frac{4}{{2\sqrt{2}}}=\sqrt{2},DP=\frac{1}{2}AC=\frac{{\sqrt{5}}}{2}$,
∴$cosθ=\frac{{\frac{5}{4}+2-\frac{5}{4}}}{{\sqrt{10}}}=\frac{2}{{\sqrt{10}}}=\frac{{\sqrt{10}}}{5}$.
所以異面直線DE和AB所成角的余弦值$\frac{{\sqrt{10}}}{5}$.

點評 本題考查四棱錐的體積的求法,考查異面直線所成角的余弦值的求法,是中檔題,解題時要認真審題,注意空間思維能力的培養(yǎng).

練習冊系列答案
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數據編號20082009201020112012201320142015
道路里程數x120130140150160170180190
汽車保有量y144154160168176180186190
(Ⅰ)若某年的兩個值都不小于170時,我們將該年稱為“出行便捷年”.現從這8年中任取5年,求恰有2年為“出行便捷年”的概率(請用分數作答).
(Ⅱ)根據上表數據,用變量y和x的相關系數說明y與x之間線性相關關系的強弱.如果具有較強的線性相關關系,求y與x的線性回歸方程(系數精確到0.01);如果不具有線性相關關系,請說明理由.
參考公式:相關系數$r=\frac{{\sum_{i=1}^8{({x_i}-\overline x)({y_i}-\overline y)}}}{{\sqrt{\sum_{i=1}^8{{{({x_i}-\overline x)}^2}}\sum_{i=1}^8{{{({y_i}-\overline y)}^2}}}}}$;回歸直線的方程是:$\hat y=\hat bx+a$,
其中$\hat b=\frac{{\sum_{i=1}^n{({x_i}-\overline x)({y_i}-\overline y)}}}{{\sum_{i=1}^n{{{({x_i}-\overline x)}^2}}}}$,$a=\overline y-\hat b\overline x$,${\hat y_i}$是與xi對應的回歸估計值.
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